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प्रश्न
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)
[संकेत AC को मिलाइए।]
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उत्तर
दिया गया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
AD || BC और AB ||
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं)
बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
ΔAPC और ΔBPC पर विचार करें
ΔAPC और ΔBPC एक ही आधार PC पर और एक ही समानांतर PC और AB के बीच स्थित हैं। इसलिए,
क्षेत्रफल (ΔAPC) = क्षेत्रफल (ΔBPC) ... (1)
चतुर्भुज ACDQ में, यह दिया गया है कि
AD = CQ
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
एडी || BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं)
CQ एक रेखाखंड है जो तब प्राप्त होता है जब रेखाखंड BC बनाया जाता है।
∴ AD || CQ
हमारे पास है,
AC = DQ and AC || DQ
अत: ACQD एक समांतर चतुर्भुज है।
DCQ और ACQ पर विचार करें
ये एक ही आधार CQ पर और एक ही समान्तर रेखाओं CQ और AD के बीच स्थित हैं। इसलिए,
क्षेत्रफल (ΔDCQ) = क्षेत्रफल (ΔACQ)
क्षेत्रफल (ΔDCQ) - क्षेत्रफल (ΔPQC) = क्षेत्रफल (ΔACQ) - क्षेत्रफल (ΔPQC)
क्षेत्रफल (ΔDPQ) = क्षेत्रफल (ΔAPC) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔBPC) = क्षेत्रफल (ΔDPQ)
संबंधित प्रश्न
दी गई आकृति में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। वो दिखाओ
(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: के माध्यम से। P, AB के समांतर एक रेखा खींचिए]
दी गई आकृति में, ΔABC की माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है। दिखाएँ कि ar (ABE) = ar (ACE) है।
एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये]
आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = `1/8`ar (AFC)
[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को P पर काटते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
[संकेत : A और C से BD पर लंब खींचिए।]
किसी समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिंदु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC) है।
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर हैं।
निम्नलिखित आकृति में, X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) हैं।
