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प्रश्न
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)
[संकेत AC को मिलाइए।]
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उत्तर
दिया गया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
AD || BC और AB ||
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं)
बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
ΔAPC और ΔBPC पर विचार करें
ΔAPC और ΔBPC एक ही आधार PC पर और एक ही समानांतर PC और AB के बीच स्थित हैं। इसलिए,
क्षेत्रफल (ΔAPC) = क्षेत्रफल (ΔBPC) ... (1)
चतुर्भुज ACDQ में, यह दिया गया है कि
AD = CQ
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
एडी || BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं)
CQ एक रेखाखंड है जो तब प्राप्त होता है जब रेखाखंड BC बनाया जाता है।
∴ AD || CQ
हमारे पास है,
AC = DQ and AC || DQ
अत: ACQD एक समांतर चतुर्भुज है।
DCQ और ACQ पर विचार करें
ये एक ही आधार CQ पर और एक ही समान्तर रेखाओं CQ और AD के बीच स्थित हैं। इसलिए,
क्षेत्रफल (ΔDCQ) = क्षेत्रफल (ΔACQ)
क्षेत्रफल (ΔDCQ) - क्षेत्रफल (ΔPQC) = क्षेत्रफल (ΔACQ) - क्षेत्रफल (ΔPQC)
क्षेत्रफल (ΔDPQ) = क्षेत्रफल (ΔAPC) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔBPC) = क्षेत्रफल (ΔDPQ)
संबंधित प्रश्न
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर कोई बिंदु A लिया और उसे बिंदु P और Q से मिला दिया। क्षेत्र को कितने भागों में विभाजित किया गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? किसान गेहूँ और दालों को खेत के बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। उसे कैसे करना चाहिए?
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है | दर्शाइए कि
(i) ar(ACB) = ar(ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए : ar (ΔBEF)
ABCD एक वर्ग है। E और F क्रमश : BC और CD भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। यदि R रेखाखंड EF का मध्य-बिंदु है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (AER) = ar (AFR) है।
निम्नलिखित आकृति में, CD || AE और CY || BA है। सिद्ध कीजिए कि ar (CBX) = ar (AXY) है।
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।
निम्नलिखित आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समांतर खींची गई BP बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के समांतर खींची गई EQ बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABCDE) = ar (APQ) है।
