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प्रश्न
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)
[संकेत AC को मिलाइए।]
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उत्तर
दिया गया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
AD || BC और AB ||
(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं)
बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
ΔAPC और ΔBPC पर विचार करें
ΔAPC और ΔBPC एक ही आधार PC पर और एक ही समानांतर PC और AB के बीच स्थित हैं। इसलिए,
क्षेत्रफल (ΔAPC) = क्षेत्रफल (ΔBPC) ... (1)
चतुर्भुज ACDQ में, यह दिया गया है कि
AD = CQ
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है,
एडी || BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं)
CQ एक रेखाखंड है जो तब प्राप्त होता है जब रेखाखंड BC बनाया जाता है।
∴ AD || CQ
हमारे पास है,
AC = DQ and AC || DQ
अत: ACQD एक समांतर चतुर्भुज है।
DCQ और ACQ पर विचार करें
ये एक ही आधार CQ पर और एक ही समान्तर रेखाओं CQ और AD के बीच स्थित हैं। इसलिए,
क्षेत्रफल (ΔDCQ) = क्षेत्रफल (ΔACQ)
क्षेत्रफल (ΔDCQ) - क्षेत्रफल (ΔPQC) = क्षेत्रफल (ΔACQ) - क्षेत्रफल (ΔPQC)
क्षेत्रफल (ΔDPQ) = क्षेत्रफल (ΔAPC) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔBPC) = क्षेत्रफल (ΔDPQ)
संबंधित प्रश्न
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(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: के माध्यम से। P, AB के समांतर एक रेखा खींचिए]
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(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
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(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
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[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
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(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
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(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
किसी समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिंदु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC) है।
एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि PQ इस समांतर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
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