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प्रश्न
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
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उत्तर
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके दो विकर्ण AC तथा BD हैं | जो एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है |
सिद्ध करना है :
ar(AOB) = ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD)
प्रमाण:
ΔABC की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है |
इसलिए OB एक माध्यिका है |
अत: ar(AOB) = ar(BOC) ....... (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है)
इसीप्रकार, ΔACD की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है |
इसलिए OD एक माध्यिका है |
अत: ar(AOD) = ar(COD) ....... (ii)
अब और ΔBCD में भुजा BD की मध्य-बिंदु O है अत: OC एक माध्यिका है |
अत : ar(BOC) = ar(COD) ....... (iii)
समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से हमें प्राप्त होता है |
ar(ΔAOB) = ar(ΔBOC) = ar(ΔCOD) = ar(ΔAOD)
संबंधित प्रश्न
P और Q एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित कोई दो बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)
[संकेत AC को मिलाइए।]
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि
(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)
(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए : ar (ΔBEF)
किसी समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिंदु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC) है।
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर हैं।
निम्नलिखित आकृति में, CD || AE और CY || BA है। सिद्ध कीजिए कि ar (CBX) = ar (AXY) है।
निम्नलिखित आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समांतर खींची गई BP बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के समांतर खींची गई EQ बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABCDE) = ar (APQ) है।
