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Question
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये]
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Solution
माना AC और PQ को मिलाएँ।
ΔACQ और ΔAQP एक ही आधार AQ पर हैं और समान समानांतर AQ और CP के बीच हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACQ) = क्षेत्रफल (ΔAPQ)
⇒ क्षेत्रफल (ΔACQ) − क्षेत्रफल (ΔABQ) = क्षेत्रफल (ΔAPQ) − क्षेत्रफल (ΔABQ)
⇒ क्षेत्रफल (ΔABC) = क्षेत्रफल (ΔQBP) ... (1)
चूँकि AC और PQ क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD और PBQR के विकर्ण हैं,
∴ क्षेत्रफल (ΔABC) = `1/2` क्षेत्रफल (ABCD) ... (2)
क्षेत्रफल (ΔQBP) = `1/2` क्षेत्रफल (PBQR) ... (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
`1/2` क्षेत्रफल (ABCD) = `1/2` क्षेत्रफल (PBQR)
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (PBQR)
RELATED QUESTIONS
दी गई आकृति में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। वो दिखाओ
(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: के माध्यम से। P, AB के समांतर एक रेखा खींचिए]
एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है | दर्शाइए कि
(i) ar(ACB) = ar(ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध् के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को P पर काटते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।
[संकेत : A और C से BD पर लंब खींचिए।]
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि
(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)
(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)
(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)
ABCD एक वर्ग है। E और F क्रमश : BC और CD भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। यदि R रेखाखंड EF का मध्य-बिंदु है (आकृति), तो सिद्ध कीजिए कि ar (AER) = ar (AFR) है।
त्रिभुज ABC में यदि L और M क्रमश : AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि LM || BC है। सिद्ध कीजिए कि ar (LOB) = ar (MOC) है।
निम्नलिखित आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समांतर खींची गई BP बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के समांतर खींची गई EQ बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABCDE) = ar (APQ) है।
निम्नलिखित आकृति में, X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) हैं।
