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Question
एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर कोई बिंदु A लिया और उसे बिंदु P और Q से मिला दिया। क्षेत्र को कितने भागों में विभाजित किया गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? किसान गेहूँ और दालों को खेत के बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। उसे कैसे करना चाहिए?
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Solution
चित्र से यह देखा जा सकता है कि बिंदु A क्षेत्र को तीन भागों में विभाजित करता है। ये भाग आकार में त्रिभुजाकार हैं - ΔPSA, ΔPAQ, और ΔQRA
ΔPSA का क्षेत्रफल + ΔPAQ का क्षेत्रफल + ΔQRA का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल ... (1)
हम जानते हैं कि यदि एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
∴ क्षेत्रफल (ΔPAQ) = 1/2क्षेत्र (PQRS) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔPSA) + क्षेत्रफल (ΔQRA) = `1/2` क्षेत्र (PQRS) ... (3)
स्पष्ट रूप से, यह देखा जा सकता है कि किसान को त्रिकोणीय भाग PAQ में गेहूं और अन्य दो त्रिकोणीय भागों PSA और QRA में दालें या त्रिकोणीय भागों PSA और QRA में गेहूं और त्रिकोणीय भागों PAQ में दालें बोनी चाहिए।
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P और Q एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित कोई दो बिंदु हैं। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।
दी गई आकृति में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। वो दिखाओ
(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
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एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
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दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है | सिद्ध कीजिए कि ar(AQC) = ar(PBR) है |
दी गई आकृति में, ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है | दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है |
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(i) ΔMBC ≅ ΔABD
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(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
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नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
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