Question

ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।

Answer 1

दिया गया है - एक समलंब ABCD में, AB || DC, DC = 30 सेमी और AB = 50 सेमी है।

साथ ही, X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।

सिद्ध करना है - `ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA)`

रचना -  DY से जुड़ें और इसे बढ़ाकर AB को P पर मिलें।

प्रमाण - ΔDCY और ΔPBY में,

CY = BY   ...[चूँकि Y, BC का मध्य-बिंदु है।]

∠DCY = ∠PBY  ...[चूँकि Y, BC का मध्य-बिंदु है।]

और ∠2 = ∠3  ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∴ ΔDCY ≅ ΔPBY  ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]

तो, DC = BP  ...[CPCT द्वारा]

परंतु DC = 30 cm   ...[दिया गया है।]

∴ DC = BP = 30 cm

अब, AP = AB + BP

= 50 + 30

= 80 cm

ΔADP में, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,

`XY = 1/2 AP`

= `1/2 xx 80`

= 40 cm

माना AB, XY और XY, DC के बीच की दूरी h सेमी,

अब, समलंब DCYX का क्षेत्रफल = `1/2 h (30 + 40)`  ...[∵ समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` समानांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी]

= `1/2 h (70)`  

= 35 h cm² 

इसी तरह, समलंब XYBA का क्षेत्रफल

= `1/2 h (40 + 50)`

= `1/2 h xx 90`

= 45 h cm²

∴ `(ar (DCYX))/(ar (XYBA)) = (35h)/(45h) = 7/9`

⇒ `ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA)`

अतः सिद्ध हुआ।