Advertisements
Advertisements
प्रश्न
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - एक समलंब ABCD में, AB || DC, DC = 30 सेमी और AB = 50 सेमी है।
साथ ही, X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है - `ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA)`
रचना - DY से जुड़ें और इसे बढ़ाकर AB को P पर मिलें।
प्रमाण - ΔDCY और ΔPBY में,
CY = BY ...[चूँकि Y, BC का मध्य-बिंदु है।]
∠DCY = ∠PBY ...[चूँकि Y, BC का मध्य-बिंदु है।]
और ∠2 = ∠3 ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔDCY ≅ ΔPBY ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]
तो, DC = BP ...[CPCT द्वारा]
परंतु DC = 30 cm ...[दिया गया है।]
∴ DC = BP = 30 cm
अब, AP = AB + BP
= 50 + 30
= 80 cm
ΔADP में, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,
`XY = 1/2 AP`
= `1/2 xx 80`
= 40 cm
माना AB, XY और XY, DC के बीच की दूरी h सेमी,
अब, समलंब DCYX का क्षेत्रफल = `1/2 h (30 + 40)` ...[∵ समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` समानांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी]
= `1/2 h (70)`
= 35 h cm2
इसी तरह, समलंब XYBA का क्षेत्रफल
= `1/2 h (40 + 50)`
= `1/2 h xx 90`
= 45 h cm2
∴ `(ar (DCYX))/(ar (XYBA)) = (35h)/(45h) = 7/9`
⇒ `ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA)`
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
दी गई आकृति में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। वो दिखाओ
(i) ar (APB) + ar (PCD) = `1/2`ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: के माध्यम से। P, AB के समांतर एक रेखा खींचिए]
एक त्रिभुज ΔABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar (BED) = `1/4`ar (ABC) है।
दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है | सिद्ध कीजिए कि ar(AQC) = ar(PBR) है |
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |
आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = `1/8`ar (AFC)
[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≅ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)
(iv) ΔFCB ≅ ΔACE
(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)
नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल 180 cm2 है तथा A विकर्ण QS पर स्थित कोई बिंदु है। तब ∆ASR का क्षेत्रफल 90 cm2 है।
समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm2 है। ज्ञात कीजिए : ar (ΔBEF)
निम्नलिखित आकृति में, X और Y क्रमश : AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) हैं।
