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प्रश्न
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = `7/9` ar (XYBA) है।
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उत्तर
दिया गया है - एक समलंब ABCD में, AB || DC, DC = 30 सेमी और AB = 50 सेमी है।
साथ ही, X और Y क्रमश : AD और BC के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है - `ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA)`
रचना - DY से जुड़ें और इसे बढ़ाकर AB को P पर मिलें।
प्रमाण - ΔDCY और ΔPBY में,
CY = BY ...[चूँकि Y, BC का मध्य-बिंदु है।]
∠DCY = ∠PBY ...[चूँकि Y, BC का मध्य-बिंदु है।]
और ∠2 = ∠3 ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∴ ΔDCY ≅ ΔPBY ...[ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा]
तो, DC = BP ...[CPCT द्वारा]
परंतु DC = 30 cm ...[दिया गया है।]
∴ DC = BP = 30 cm
अब, AP = AB + BP
= 50 + 30
= 80 cm
ΔADP में, मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,
`XY = 1/2 AP`
= `1/2 xx 80`
= 40 cm
माना AB, XY और XY, DC के बीच की दूरी h सेमी,
अब, समलंब DCYX का क्षेत्रफल = `1/2 h (30 + 40)` ...[∵ समलंब का क्षेत्रफल = `1/2` समानांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी]
= `1/2 h (70)`
= 35 h cm2
इसी तरह, समलंब XYBA का क्षेत्रफल
= `1/2 h (40 + 50)`
= `1/2 h xx 90`
= 45 h cm2
∴ `(ar (DCYX))/(ar (XYBA)) = (35h)/(45h) = 7/9`
⇒ `ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA)`
अतः सिद्ध हुआ।
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