Question

निम्नलिखित के मान निकालिए-

`int x^2/(1 - x^4) "d"x`  [x² = t रखिए]

Answer 1

मान लीजिए I = `int x^2/(1 - x^4) "d"x`

= `int x^2/((1 - x^2)(1 + x^2)) "d"x`

आंशिक भिन्नों के प्रयोजन के लिए x² = रखें।

हमें `"t"/((1 - "t")(1 + "t"))` मिलता है

आंशिक भिन्नों में हल करना हम डालते हैं

`"t"/((1 - "t")(1 + "t")) = "A"/(1 - "t") + "B"/(1 + "t")`  .....[जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं]

⇒ `"t"/((1 - "t")(1 + "t")) = ("A"(1 + "t") + "B"(1 - "t"))/((1 - "t")(1 + "t"))`

⇒ t = A + At + B – Bt

समान पदों की तुलना करने पर, हमें A – B = 1 और A + B = 0 प्राप्त होता है

उपरोक्त समीकरणों को हल करना

हम A = `1/2` और B = `- 1/2`

∴ I = `int (1/2)/(1 - x^2) "d"x + int ((-1)/2)/(1 + x^2) "d"x`  ...(t = x² लाना)

= `1/2 * 1/(2*1) log |(1 + x)/(1 - x)| - 1/2 tan^-1x + "C"`

= `1/4 log |(1 + x)/(1 - x)| - 1/2 tan^-1x + 'C"`

अत:, I = `1/4 log |(1 + x)/(1 - x)| - 1/2 tan^-1x + "C"`.