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प्रश्न
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x^2/(1 - x^4) "d"x` [x2 = t रखिए]
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उत्तर
मान लीजिए I = `int x^2/(1 - x^4) "d"x`
= `int x^2/((1 - x^2)(1 + x^2)) "d"x`
आंशिक भिन्नों के प्रयोजन के लिए x2 = रखें।
हमें `"t"/((1 - "t")(1 + "t"))` मिलता है
आंशिक भिन्नों में हल करना हम डालते हैं
`"t"/((1 - "t")(1 + "t")) = "A"/(1 - "t") + "B"/(1 + "t")` .....[जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं]
⇒ `"t"/((1 - "t")(1 + "t")) = ("A"(1 + "t") + "B"(1 - "t"))/((1 - "t")(1 + "t"))`
⇒ t = A + At + B – Bt
समान पदों की तुलना करने पर, हमें A – B = 1 और A + B = 0 प्राप्त होता है
उपरोक्त समीकरणों को हल करना
हम A = `1/2` और B = `- 1/2`
∴ I = `int (1/2)/(1 - x^2) "d"x + int ((-1)/2)/(1 + x^2) "d"x` ...(t = x2 लाना)
= `1/2 * 1/(2*1) log |(1 + x)/(1 - x)| - 1/2 tan^-1x + "C"`
= `1/4 log |(1 + x)/(1 - x)| - 1/2 tan^-1x + 'C"`
अत:, I = `1/4 log |(1 + x)/(1 - x)| - 1/2 tan^-1x + "C"`.
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