Question

माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी और B = 90° हो। B से AC पर BD लंबवत खींचिए और बिंदुओं B, C और D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचिए। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ बनाइए। रचना का औचित्य बताइए।

Answer 1

निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें। यदि B, D और सी के माध्यम से एक सर्कल खींचा जाता है, तो BC इसका व्यास होगा क्योंकि ∠BDC 90 डिग्री माप का है। इस वृत्त का केंद्र E BC का मध्य-बिंदु होगा।

दिए गए वृत्त पर आवश्यक स्पर्श रेखाएँ निम्नानुसार बनाई जा सकती हैं।

चरण 1

AE को मिलाइए और इसे समद्विभाजित कीजिए। मान लीजिए F AE का मध्य-बिंदु है।

चरण 2

F को केंद्र मानकर FE को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो वृत्त को बिंदु B और G पर काटेगा। AG को मिलाइए।

AB और AG अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य

रचना को यह सिद्ध करके न्यायोचित ठहराया जा सकता है कि AG और AB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए EG ज्वाइन करें।

∠AGE अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।

∴ ∠AGE = 90°

⇒ EG ⊥ AG

चूँकि EG वृत्त की त्रिज्या है, AG को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए।

पहले से, ∠B = 90°

⇒ AB ⊥ BE

चूँकि BE वृत्त की त्रिज्या है, AB को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए।