Question

6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके केंद्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का युग्म बनाइए और उनकी लंबाई मापिए। निर्माण का औचित्य बताइए।

Answer 1

दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म इस प्रकार बनाया जा सकता है।

चरण 1

दिए गए तल के किसी बिंदु 0 को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। O से 10 सेमी दूर एक बिंदु P ज्ञात कीजिए। OP को मिलाइए।

चरण 2

द्विभाजित ओपी। मान लीजिए M, PO का मध्य-बिंदु है।

चरण 3

M को केंद्र और MO को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।

चरण 4

मान लीजिए कि यह वृत्त पिछले वृत्त को बिंदु Q और R पर काटता है।

चरण 5

PQ और PR को मिलाइए। PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

स्पर्शरेखा PQ और PR की लंबाई प्रत्येक 8 सेमी है।

औचित्य

निर्माण को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि PQ और PR वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं (जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 6 सेमी है)। इसके लिए OQ और OR को जॉइन करें।

PQO अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।

∴ ∠PQO = 90°

⇒ OQ ⊥ PQ

चूँकि OQ वृत्त की त्रिज्या है, PQ को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए। इसी प्रकार, PR वृत्त की स्पर्श रेखा है।