Question

3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए पर केंद्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिंदु P और Q लें। इन दो बिंदुओं P और Q से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। रचना का औचित्य बताइए।

Answer 1

दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना इस प्रकार की जा सकती है।

चरण 1

दिए गए तल पर किसी बिंदु 0 को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।

चरण 2

इसका एक व्यास, PQ लें और इसे दोनों ओर बढ़ाएँ। इस व्यास पर दो बिंदु इस प्रकार लगाएं कि OR = OS = 7 cm

चरण 3

द्विभाजित ओआर और ओएस। माना T और U क्रमशः OR और OS के मध्य-बिंदु हैं।

चरण 4

T और U को केंद्र मानकर TO और UO को त्रिज्या लेकर दो वृत्त खींचिए। ये दो वृत्त वृत्त को क्रमशः बिंदु V, W, X, Y पर काटेंगे। RV, RW, SX और SY को मिलाएं। ये आवश्यक स्पर्शरेखाएँ हैं।

औचित्य

रचना को सिद्ध करके उचित ठहराया जा सकता है कि RV, RW, SY, और SX वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं (जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 3 सेमी है)। इसके लिए OV, OW, OX और OY को मिलाएं।

∠RVO अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।

∴ ∠RVO = 90°

⇒ OV ⊥ RV

चूँकि OV वृत्त की त्रिज्या है, RV को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि RW, SX और SY वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।