Question

एक समलंब ABCD की क्रमशः समांतर भुजाओं AB और DC के मध्य-बिंदुओं M और N को मिलाने वाला रेखाखंड दोनों भुजाओं AB और DC पर लंब है। सिद्ध कीजिए कि AD = BC है।

Answer 1

दिया गया है - समलंब ABCD में, बिंदु M और N क्रमशः समानांतर भुजाओं AB और DC के मध्य-बिंदु हैं और MN को मिलाते हैं, जो AB और DC के लंबवत है।

सिद्ध करना है - AD = BC

उपपत्ति - चूँकि M, AB का मध्य-बिंदु है।

∴ AM = MB

अब, ΔAMN और ΔBMN में,

AM = MB  ...[ऊपर प्रमाणित]

∠3 = ∠4   ...[प्रत्येक 90°]

MN = MN  ...[उभयनिष्ठ पक्ष]

∴ ΔAMN ≅ ΔBMN   ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

∴ ∠1 = ∠2   ...[CPCT द्वारा]

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को –1 से गुणा करने पर और फिर दोनों पक्षों में 90° जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।

90° – ∠1 = 90° – ∠2

⇒ ∠AND = ∠BNC  ...(i)

अब, ΔADN और ΔBCN में,

∠AND = ∠BNC   ...[समीकरण (i) से]

AN = BN   ...[∵ΔAMN ≅ ΔBMN]

और DN = NC  ...[∵ N, CD का मध्य-बिंदु है (दिया गया है।)]

∴ ΔADN ≅ ΔBCN   ...[SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]

अतः, AD = BC   ...[CPCT द्वारा]

अतः सिद्ध हुआ।