Advertisements
Advertisements
Question
आकृति में रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है और PT ⊥ QR तो सिद्ध कीजिए कि,
(1) PR2 = PS2 + QR × ST + `("QR"/2)^2`
(2) PQ2 = PS2 - QR × ST + `("QR"/2)^2`
Advertisements
Solution
रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है | ...........(दत्त)
∴ QS = SR = `1/2`QR ............(बिंदु S यह भुजा QR मध्यबिंदु है) ....(1)
ΔPTS में, ∠PTS = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PS2 = PT2 + TS2 ...........(2)
(i) ΔPTR में, ∠PTR = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PR2 = PT2 + TR2
∴ PR2 = PT2 + (TS + SR)2 ...........(T-S-R)
∴ PR2 = PT2 + TS2 + 2ST × SR + SR2 .....[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
∴ PR2 = (PT2 + TS2) + 2ST × SR + SR2
∴ PR2 = PS2 + 2ST × `("QR"/2) + ("QR"/2)^2` ......[(1) और (2) से]
∴ PR2 = PS2 + QR × ST + `("QR"/2)^2`
(ii) ΔPTQ में, ∠PTQ = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PQ2 = PT2 + TQ2
∴ PQ2 =PT2 + (QS - TS)2 .....................(Q-T-S)
∴ PQ2 = PT2 + QS2 - 2QS × TS + TS2 ......[(a - b)2 = a2 - 2ab + b2]
∴ PQ2 = (PT2 + TS2) - 2QS × TS + QS2
∴ PQ2 = PS2 - 2`("QR"/2) xx "TS" + ("QR"/2)^2` ....................[(1) और (2) से]
∴ PQ2 = PS2 - QR × ST + `("QR"/2)^2`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
किसी वर्ग के विकर्ण की लंबाई 10 सेमी हो तो उसकी भुजा की लंबाई तथा परिमिति ज्ञात कीजिए।
आकृति में ∠DFE = 90°, रेख FG ⊥ रेख ED. यदि GD = 8, FG = 12, तो (1) EG (2) FD (3) EF का मान ज्ञात कीजिए।
आकृति में M यह भुजा QR का मध्यबिंदु है। ∠PRQ = 90° तो सिद्ध कीजिए कि, PQ2 = 4PM2 - 3PR2
निम्नलिखित बहुवैकल्पिक प्रश्न के दिए गए उत्तरों में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
समकोण त्रिभुज में समकोण बनानेवाली भुजाओं के वर्गों का योगफल 169 हो तो उसके कर्ण की लंबाई कितनी होगी?
निम्नलिखित बहुवैकल्पिक प्रश्न के दिए गए उत्तरों में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
a, b, c भुजावाले त्रिभुज में यदि a2 + b2 = c2 हो तो वह त्रिभुज किस प्रकार का होगा?
किसी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाएँ क्रमश: 9 सेमी तथा 12 सेमी हों तो उस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
किसी आयत का क्षेत्रफल 192 वर्ग सेमी तथा उसकी लंबाई 16 सेमी हो, तो उस आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
किसी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई `sqrt3` सेमी हो, तो उस त्रिभुज के भुजा की लंबाई तथा उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
सीमा और नेहा ने एक ही स्थान से पूर्व और उत्तर दिशा में एक ही गति से चलना प्रारंभ किया, दो घंटे पश्चात उनके बीच की दूरी `15sqrt2` किमी हो तो उनकी प्रतिघंटा गति ज्ञात कीजिए।
यदि वर्ग के विकर्ण की लंबाई 10`sqrt2` सेमी हो, तो उस वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
