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प्रश्न
आकृति में रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है और PT ⊥ QR तो सिद्ध कीजिए कि,
(1) PR2 = PS2 + QR × ST + `("QR"/2)^2`
(2) PQ2 = PS2 - QR × ST + `("QR"/2)^2`
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उत्तर
रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है | ...........(दत्त)
∴ QS = SR = `1/2`QR ............(बिंदु S यह भुजा QR मध्यबिंदु है) ....(1)
ΔPTS में, ∠PTS = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PS2 = PT2 + TS2 ...........(2)
(i) ΔPTR में, ∠PTR = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PR2 = PT2 + TR2
∴ PR2 = PT2 + (TS + SR)2 ...........(T-S-R)
∴ PR2 = PT2 + TS2 + 2ST × SR + SR2 .....[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
∴ PR2 = (PT2 + TS2) + 2ST × SR + SR2
∴ PR2 = PS2 + 2ST × `("QR"/2) + ("QR"/2)^2` ......[(1) और (2) से]
∴ PR2 = PS2 + QR × ST + `("QR"/2)^2`
(ii) ΔPTQ में, ∠PTQ = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PQ2 = PT2 + TQ2
∴ PQ2 =PT2 + (QS - TS)2 .....................(Q-T-S)
∴ PQ2 = PT2 + QS2 - 2QS × TS + TS2 ......[(a - b)2 = a2 - 2ab + b2]
∴ PQ2 = (PT2 + TS2) - 2QS × TS + QS2
∴ PQ2 = PS2 - 2`("QR"/2) xx "TS" + ("QR"/2)^2` ....................[(1) और (2) से]
∴ PQ2 = PS2 - QR × ST + `("QR"/2)^2`
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