Question

समलंब चतुर्भुज ABCD में,

रेख AB || रेख DC 

रेख BD ⊥ रेख AD, 

रेख AC ⊥ रेख BC,

यदि AD = 15, BC = 15 और AB = 25 हो तो A(`square` ABCD) का मान कितना होगा?

Answer 1

ΔADB में, ∠ADB = 90° ..............(दिया है)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

AB² = AD² + BD²

∴ (25)² = (15)² + BD²  

∴ `"BD"^2 = (25)^2 - (15)^2`

∴ `"BD"^2` = 625 - 225

∴ `"BD"^2` = 400

∴ BD = 20 ...........(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)

इसी प्रकार, AC = 20

रेख DM ⊥ भुजा AB इस प्रकार खींचो कि, A-M-B और

रेख CN ⊥ भुजा AB इस प्रकार खींचो कि, A-N-B.

A(ΔADB) = `1/2 xx "BD" xx "AD"`

A(ΔADB) = `1/2 xx 20 xx 15`

∴ A(ΔADB) = 150 वर्ग इकाई | 

तथा, A(ΔADB) = `1/2 xx "AB" xx "DM"`

∴ A(ΔADB) = `1/2 xx 25 xx "DM"`

∴ `150 = 1/2 xx 25 xx "DM"`

∴ DM = `(150 xx 2)/25`

∴ DM = 12

इसी प्रकार, CN = 12

ΔDMA में,

∠DMA = 90° ............(रचना)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

`"AD"^2 = "DM"^2 + "AM"^2`

∴ `15^2 = 12^2 + "AM"^2`

∴ `"AM"^2 = 225 - 144`

∴ `"AM"^2 = 81`

∴ AM = 9 ...........(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)

इसी प्रकार, BN = 9

AM + MN + NB = AB (A-M-N और M-N-B)

∴ 9 + MN + 9 = 25

∴ 18 + MN = 25

∴ MN = 25 - 18

∴ MN = 7

`square`DCNM में,

रेख DC || रेख MN ..............(∵ रेख DC || रेख AB और A-M-N-B)

रेख DM || रेख CN ................(एक ही रेखा पर खींचे गए लंब परस्पर समांतर होते हैं |)

∴ `square`DCNM एक समांतर चतुर्भुज है | ...............(परिभाषा से)

∴ DC = MN = 7 .............(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम होती है)

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = `1/2` × समांतर भुजाओं का योगफल × ऊँचाई

∴ A(`square`ABCD) =  `1/2 xx ("AB" + "CD") xx "DM"`

∴ A(`square`ABCD) =  `1/2 xx (25 + 7) xx 12`

∴ A(`square"ABCD") = 32 xx 6`

∴ A(`square`ABCD`) = 192 वर्ग इकाई

A(`square`ABCD`) = 192 वर्ग इकाई है |