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प्रश्न
किसी समद्विबाहु त्रिभुज में सर्वांगसम भुजाओं की लंबाई 13 सेमी तथा आधार की लंबाई 10 सेमी हो तो उस त्रिभुज की माध्यिकाओं के संगमन बिंदु से आधार के सम्मुख शीर्षबिंदु तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
माना ΔABC एक दिया गया समद्विबाहु त्रिभुज है।
AB = AC = 13 सेमी,
BC = 10 सेमी
रेख AM ⊥ भुजा BC इस प्रकार खींचो कि, B-M-C.
ΔAMB और ΔAMC में,
∠AMB = ∠AMC = 90° ...(रचना)
कर्ण AB ≅ भुजा AC ...(दिया है)
भुजा AM ≅ भुजा AM ...(सामान्य भुजा)
∴ ΔAMB ≅ ΔAMC ...(कर्ण भुजा प्रमेय)
∴ रेख BM ≅ रेख CM ...(स. त्रि. सं. भु.) ...(1)
∴ BM = CM = `1/2`BC
∴ BM = CM = `1/2 xx 10`
∴ BM = CM = 5 सेमी।
ΔAMB में,
∠AMB = 90° ...(रचना)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
AB2 = AM2 + BM2
∴ 132 = AM2 + 52
∴ `"AM"^2 = 13^2 - 5^2`
∴ `"AM"^2` = 169 - 25
∴ `"AM"^2` = 144
∴ `"AM"^2` = 12 सेमी ...(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)
अब, BM = MC ....[(1) से]
∴ रेख AM यह माध्यिका है। .... (परिभाषा से)
∴ माध्यिकाओं का संगमन बिंदु G, माध्यिका पर स्थित है।
केंद्रक के गुणधर्म से,
AG = `2/3`AM
∴ AG = `2/3 xx 12`
∴ AG = 8 सेमी
त्रिभुज की माध्यिकाओं के संगमन बिंदु से आधार के सम्मुख शीर्षबिंदु तक की दुरी 8 सेमी है।
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