Question

आकृति में दर्शाएनुसार बिंदु T यह आयत PQRS के अंतर्भाग में स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, TS² + TQ² = TP² + TR² (आकृति में दर्शाएअनुसार रेख AB || भुजा SR ऐसा खींचिए कि A-T-B) 

 

Answer 1

रचना: बिंदु T से रेख AB || भुजा SR इस प्रकार खींचो कि A-T-B, P-A-S और Q-B-R. 

उपपत्ति: रेख PS || रेख QR .......(आयात की सम्मुख भुजा)

∴ रेख AS || रेख BR ..........(P-A-S और Q-B-R)

रेख AB || रेख SR ............(रचना) 

∴ `square`ASRB एक समांतर चतुर्भुज है | .......(परिभाषा से)

∠PSR = 90° ..........(आयत PQRS का कोण)

∴ `square`ASRB एक आयत है | ....(समांतर चतुर्भुज में यदि एक कोण समकोण हो, तो वह आयत होता है)

∠SAB = ∠ABR = 90° ......(आयत के कोण)

∴ रेख TA ⊥ भुजा PS और रेख TB ⊥ भुजा QR ............(1)

AS = BR ..........(आयत की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम होती है) ........(2)

उसी प्रकार, हम सिद्ध क्र सकते है, AP = BQ ..........(3)

ΔTAS में,

∠TAS = 90° ........[(1) से]

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

TS² = TA² + AS² ........(4)

ΔTBQ में,

∠TBQ = 90° ........[(1) से]

पायथागोरस के प्रमेय से,

TQ² = TB² + BQ² .................(5)

(4) और (5) को जोड़ने पर,

TS² + TQ² = TA² + AS² + TB² + BQ² .................(6)

ΔTAP में,

∠TAP = 90° ........[(1) से]

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

TP² = TA² + AP² ......(7)

ΔTBR में,

∠TBR = 90° ........[(1) से]

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

TR² = TB² + BR² .........(8) 

(7) और (8) को जोड़ने पर,

TP² + TR² = TA² + AP² + TB² + BR² 

∴ TP² + TR² = TA² + BQ² + TB² + AS² ....[(2) और (3) से] .......(9)

∴ (6) और (9) से,

TS² + TQ² = TP² + TR².