Question

1. बोर मॉडल का उपयोग करके किसी हाइड्रोजन परमाणु में n = 1, 2 तथा 3 स्तरों पर इलेक्ट्रॉन की चाल परिकलित कीजिए।
2. इनमें से प्रत्येक स्तर के लिए कक्षीय अवधि परिकलित कीजिए।

Answer 1

(a) माना निम्नतम स्तर में हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति v₁ होती है, n₁ = 1 इलेक्ट्रॉन के आवेश (e) के लिए v₁ को संबंध द्वारा दिया जाता है,

`v_1 = e^2/(n_1 4pi in_0(h/(2pi))) = e^2/(2in_0h)`

जहाँ, 

e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

∈₀ = मुक्त आकाश का परावैद्युतांक = 8.85 × 10⁻¹² N⁻¹ C² m⁻²

h = प्लांक स्थिरांक = 6.62 × 10⁻³⁴ Js

∴ `v_1 = (1.6 xx 10^(-19))^2/(2 xx 8.85 xx 10^(-12) xx 6.62 xx 10^-34)`

= 0.0218 × 10⁸

= 2.18 × 10⁶ m/s

स्तर n₂ = 2 के लिए, हम इसी कक्षीय गति के लिए संबंध लिख सकते हैं:

`v_2 = e^2/(n_2 2 in_0 h)`

= `(1.6 xx 10^(-19))^2/(2 xx 2 xx 8.85 xx 10^(-12) xx 6.62 xx 10^(-34))`

= 1.09 × 10⁶ m/s

और, n₃ = 3 के लिए, हम इस कक्षीय गति के लिए संबंध लिख सकते हैं:

`v_3 = e^2/(n_3 2 in_0 h)`

= `(1.6 xx 10^(-19))^2/(3 xx 2 xx 8.85 xx 10^(-12) xx 6.62 xx 10^(-34))`

= 7.27 × 10⁵ m/s

इसलिए, हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गति n = 1, n = 2 और n = 3 के लिए क्रमशः 2.18 × 10⁶ m/s, 1.09 × 10⁶ m/s, 7.27 × 10⁵ m/s हैं।

(b) माना इलेक्ट्रॉन की कक्षीय अवधि T₁ है जब यह स्तर n₁ = 1 में होता है।

कक्षीय अवधि कक्षीय गति से संबंधित है:

`T_1 = (2pir_1)/v_1`

जहाँ,

r₁ = कक्षा की त्रिज्या = `(n_1^2 h^2 in_0)/(pime^2)`

h = प्लांक स्थिरांक = 6.62 × 10⁻³⁴ Js

e = एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

∈₀ = मुक्त आकाश का परावैद्युतांक = 8.85 × 10⁻¹² N⁻¹ C² m⁻²

m = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 9.1 × 10⁻³¹ kg

∴ `T_1 = (2pir_1)/v_1`

= `(2pi xx (1)^2 xx (6.62 xx 10^(-34))^2 xx 8.85 xx 10^(-12))/(2.18 xx 10^6 xx pi xx  9.1 xx 10^(-31) xx (1.6 xx 10^(-19))^2`

= 15.27 × 10⁻¹⁷

= 1.527 × 10⁻¹⁶ s

n₂ = 2 अवस्था के लिए अवधि है:

`T_2 = (2pir_2)/v_2`

जहाँ, n₂ = 2 में इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या r₂ है।

`= ((n_2)^2 h^2 in_0)/(pime^2)`

∴ `T_2 = (2pir_2)/v_2`

= `(2pi xx (2)^2 xx (6.62 xx 10^(-34))^2 xx 8.85 xx 10^(-12))/(1.09 xx 10^6 xx pi xx 9.1 xx 10^(-31) xx (1.6 xx 10^(-19))^2)`

= 1.22 × 10⁻¹⁵ s

n₃ = 3 अवस्था के लिए अवधि है:

`T_3 = (2pir_3)/v_3`

जहाँ, n₃ = 3 में इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या r₃ है।

= `((n_3)^2h^2 in_0)/(pime^2)`

∴ `T_3 = (2pir_3)/v_3`

= `(2pi xx (3)^2 xx (6.62 xx 10^(-34))^2 xx 8.85 xx 10^(-12))/(7.27 xx 10^5 xx pi xx 9.1 xx 10^(-31) xx (1.6 xx 10^(-19)))`

= 4.12 × 10⁻¹⁵ s

इसलिए, इन स्तरों में से प्रत्येक में कक्षीय अवधि क्रमशः 1.52 × 10⁻¹⁶ s, 1.22 × 10⁻¹⁵ s and 4.12 × 10⁻¹⁵ s है।