Question

a और b के किन मानों के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

x + 2y = 1

(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2

Answer 1

रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म हैं:

x + 2y = 1   ......(i)

(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2   ......(ii)

ax + by = c = 0 से तुलना करने पर, हमें मिलता है।

a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = – 1

a₂ = (a – b), b₂ = (a + b), c₂ = – (a + b – 2)

`a_1/a_2 = 1/(a - b)`

`b_1/b_2 = 2/(a + b)`

`c_1/c_2 = 1/(a + b - 2)`

रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक समाधानों के लिए,

`a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2`   .....(संपाती रेखाएँ)

इसलिए, `1/(a - b) = 2/(a + b) = 1/(a + b - 2)`

पहले दो भागों को लेते हुए,

`1/(a - b) = 2/(a + b)`

a + b = 2(a – b)

a = 3b   .......(iii)

अंतिम दो भागों को लेते हुए,

`2/(a + b) = 1/(a + b - 2)`

2(a + b – 2) = (a + b)

a + b = 4   .......(iv)

अब, समीकरण (iii) से a का मान समीकरण (iv) में रखें, हमें मिलता है।

3b + b = 4

4b = 4

b = 1

b का मान समीकरण (iii) में रखें, हमें मिलता है।

a = 3

इसलिए, मान (a, b) = (3, 1) सभी भागों को संतुष्ट करते हैं।

इसलिए, a और b के आवश्यक मान क्रमश 3 और 1 हैं, जिसके लिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अनंत रूप से कई समाधान हैं।