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प्रश्न
a और b के किन मानों के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
x + 2y = 1
(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2
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उत्तर
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म हैं:
x + 2y = 1 ......(i)
(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2 ......(ii)
ax + by = c = 0 से तुलना करने पर, हमें मिलता है।
a1 = 1, b1 = 2, c1 = – 1
a2 = (a – b), b2 = (a + b), c2 = – (a + b – 2)
`a_1/a_2 = 1/(a - b)`
`b_1/b_2 = 2/(a + b)`
`c_1/c_2 = 1/(a + b - 2)`
रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक समाधानों के लिए,
`a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2` .....(संपाती रेखाएँ)
इसलिए, `1/(a - b) = 2/(a + b) = 1/(a + b - 2)`
पहले दो भागों को लेते हुए,
`1/(a - b) = 2/(a + b)`
a + b = 2(a – b)
a = 3b .......(iii)
अंतिम दो भागों को लेते हुए,
`2/(a + b) = 1/(a + b - 2)`
2(a + b – 2) = (a + b)
a + b = 4 .......(iv)
अब, समीकरण (iii) से a का मान समीकरण (iv) में रखें, हमें मिलता है।
3b + b = 4
4b = 4
b = 1
b का मान समीकरण (iii) में रखें, हमें मिलता है।
a = 3
इसलिए, मान (a, b) = (3, 1) सभी भागों को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए, a और b के आवश्यक मान क्रमश 3 और 1 हैं, जिसके लिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अनंत रूप से कई समाधान हैं।
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