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प्रश्न
निम्न समस्या में रैखिक समीकरण के युग्म बनाइए और उसके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
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उत्तर १
मान लीजिए लड़कों की संख्या x है और लड़कियों की संख्या y है।
तब बनने वाले समीकरण हैं
x + y = 10 ...(1) और y = x + 4 ...(2)
आइए समीकरणों में से प्रत्येक के लिए दो हल ज्ञात करके समीकरण (1) और (2) के ग्राफ बनाएं।
समीकरणों के हल दिए गए हैं।
x + y = 10 ⇒ y = 10 – x
| x | 0 | 8 |
| y | 10 | 2 |
| Points | A | B |
y = x + 4
| x | 0 | 1 | 3 |
| y | 4 | 5 | 7 |
| Points | C | D | E |
इन बिंदुओं को प्लॉट करके हम समीकरणों को दर्शाने के लिए उनसे गुजरने वाली रेखाएँ AB और CE खींचते हैं। दो रेखाएँ AB और Ce बिंदु E (3, 7) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, x = 3 और y = 7 रैखिक समीकरणों की जोड़ी का अभीष्ट हल है।
यानी लड़कों की संख्या = 3
लड़कियों की संख्या = 7
सत्यापन:
(1) में x = 3 और y = 7 रखने पर, हमें मिलता है
बाएं पक्ष = 3 + 7 = 10 = दाएँ पक्ष, (1) सत्यापित है।
(2) में x = 3 और y = 7 रखने पर, हमें मिलता है
7 = 3 + 4 = 7, (2) सत्यापित है।
इसलिए, दोनों समीकरण संतुष्ट हैं।
उत्तर २
माना लड़कियों की संख्या = x
तथा लड़कों की संख्या = y
प्रश्नानुसार,
लड़के और लड़कियाँ की कुल संख्या 10 है।
इसलिए, x + y = 10 ...(1)
लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं।
इसलिए, x - y = 4 ...(2)
समी. (1) के लिए तालिका
x + y = 10
⇒ x = 10 - y
| x | 5 | 6 | 7 |
| y | 5 | 4 | 3 |
समी. (2) के लिए तालिका
x - y = 4
⇒ x = 4 + y
| x | 5 | 6 | 7 |
| y | 1 | 2 | 3 |
ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (7, 3) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है।
इसलिए, लड़कियों कि संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है।
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