Question

क्षेत्र `{(x, "y") : "y"^2 ≤ 6"a"x  "और"  x^2 + "y"^2≤ 16"a"^2}`  का एक संभावित आकृति खींचिए। साथ ही,समाकलन की विधि द्वारा इस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया है कि: {(x, y) : y² ≤ 6ax and x 2 + y² ≤ 16a²}

परवलय का समीकरण y² = 6ax  .....(i)

और वृत्त का समीकरण है x² + y² ≤ 16a²  .....(ii)

समीकरण हल करना (i) और (ii)

हमें प्राप्त होता है x² + 6ax = 16a²

⇒ x² + 6ax – 16a² = 0

⇒ x² + 8ax – 2ax – 16a² = 0

⇒ x(x + 8a) – 2a(x + 8a) = 0

⇒ (x + 8a)(x – 2a) = 0

∴ x = 2a and x = – 8a.  .....(क्षेत्र से बाहर होने के कारण अस्वीकृत)

वाँछित क्षेत्र का क्षेत्रफल

= `2[int_0^(2"a") sqrt(6"a"x)  "d"x + int_(2"a")^(4"a") sqrt(16"a"^2 - x^2)  "d"x]`

= `2[sqrt(6"a") int_0^(2"a") sqrt(x)  "d"x + int_(2"a")^(4"a")  sqrt((4"a")^2 - x^2)  "d"x]`

= `2sqrt(6"a") * 2/3 * [x^(3/2)]_0^(2"a") + 2[x/2 sqrt((4"a")^2 - x^2) + (16"a"^2)/2 sin^-1  x/(4"a")]_(2"a")^(4"a")`

= `(4sqrt(6))/3 * sqrt("a") [(2"a")^(3/2) - 0] + [xsqrt((4"a")^2 - x^2) + 16"a"^2 sin^-1  x/(4"a")]_(2"a")^(4"a")`

= `(8sqrt(12))/3 "a"^2 + [16"a"^2  8sin^-1 (1) - 2"a"sqrt(12"a"^2) - 16"a"^2 sin^-1  1/2]`

= `(16sqrt(13))/3 "a"^2 + [16"a"^2 * pi/2 - 2"a" * 2sqrt(3)"a" - 16"a"^2 * pi/6]`

= `(16sqrt(3))/3 "a"^2 + 8pi"a"^2 - 4sqrt(3)"a"^2 - 8/3 pi"a"^2`

= `((16sqrt(3))/3 - 4sqrt(3))"a"^2 + 16/3 pi"a"^2`

= `(4sqrt(3))/3 "a"^2 + 16/3 pi"a"^2`

= `4/3 (sqrt(3) + 4pi)"a"^2`

इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `4/3(sqrt(3) + 4pi)"a"^2` वर्ग इकाई