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प्रश्न
रेखा x + 2y = 2, y – x = 1 और 2x + y = 7 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया है कि: x + 2y = 2 .....(i)
y – x = 1 ......(ii)
और 2x + y = 7 ......(iii)
| x | 0 | 2 |
| y | 1 | 0 |
| x | 0 | –1 |
| y | 1 | 0 |
| x | 0 | `7/2` |
| y | 7 | 0 |
समीकरणों (ii) और (iii) को हल करना,
हमें y = 1 + x प्राप्त होता है
∴ 2x + 1 + x = 7
3x = 6
⇒ x = 2
∴ y = 1 + 2
= 3
B के निर्देशांक = (2, 3)
समीकरणों (i) और (iii) को हल करना,
हमें x + 2y = 2 प्राप्त होता है
∴ x = 2 – 2y
2x + y = 7
2(2 – 2y) + y = 7
⇒ 4 – 4y + y = 7
⇒ –3y = 3
∴ y = –1 and x = 4
∴ C के निर्देशांक = (4, – 1) और A के निर्देशांक = (0, 1)
y-अक्ष पर सीमाएँ लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं
`int_(-1)^3 x_"BC" "dy" - int_(-1)^1 x_"AC" "dy" - int_1^3 x_"AB" "dy"`
= `int_(-1)^3 (7 - "y")/2 "dy" - int_(-1)^1 (2 - 2"y") "dy" - int_1^3 ("y" - 1) "dy"`
= `1/2 [7"y" - "y"^2/2]_-1^2 - 2["y" - "y"^2/2]_-1^1 - ["y"^2/2 - "y"]_1^3`
= `1/2[(21 - 9/2) - (7 - 1/2)] - 2[(1 - 1/2) - (-1 - 1/2)] - [(9/2 - 3) - (1/2 - 1)]`
= `1/2[33/2 + 15/2] - 2[1/2 + 3/2] - [3/2 + 1/2]`
= `1/2 xx 24 - 2 xx 2 - 2`
⇒ 12 – 4 – 2 = 6 वर्ग इकाई
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = 6 वर्ग इकाई
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