Question

यदि x² – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा x² – 12x + q = 0, के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि (q + p) : (q – p) = 17 : 15

Answer 1

यह दिया गया है कि a और b, x² – 3x + p = 0 की मूल हैं

∴ a + b = 3 और ab = p … (1)

साथ ही, c और d, x² – 12x + q = 0 के मूल हैं

∴ c + d = 12 और cd = q … (2)

यह दिया गया है कि a, b, c, d  गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

मान लीजिए a = x, b = xr, c = xr², d = xr³

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

x + xr = 3

⇒ x (1 + r) = 3

xr² + xr³ =12

⇒ xr² (1 + r) = 12

विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

`(x^2 (1 + r))/(x (1 + r)) = (12)/(3)`

= r² = 4

= r = ±2

जब r = 2, `x = 3/(1 + 2) = 3/2 = 1`

जब r = -2, `x = 3/(1 - 2) = 3/(-1) = -3`

स्थिति I:

जब r = 2 और x = 1

ab = x² r = 2

cd = x² r⁵ = 32

∴ `(q + p)/(q - p) = (32 + 2)/(32 - 2) = 34/30 = 17/15`

यानी, (q + p) : (q - p) = 17 :15

स्थिति II:

जब r = -2, x = -3

ab = x² r = -18

cd =  x² r⁵ = -288

∴ `(q + p)/(q - p) = (-288 - 18)/(-288 + 18) = (-306)/(-270) = 17/15`

यानी, (q + p) : (q - p) = 17 : 15

इस प्रकार, दोनों स्थितियों में, हमें (q + p) : (q − p) = 17 : 15 प्राप्त होता है।