Question

यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

Answer 1

यह दिया गया है कि  a, b, c, और d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

∴b² = ac … (1)

c² = bd … (2)

ad = bc … (3)

यह सिद्ध करना होगा कि (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(bⁿ + cⁿ)² = (aⁿ + bⁿ) (cⁿ + dⁿ)

बायाँ पक्ष

(bⁿ + cⁿ)² = b²ⁿ + 2bⁿcⁿ + c²ⁿ

= (b²)ⁿ+ 2bⁿcⁿ + (c²) ⁿ

= (ac)ⁿ + 2bⁿcⁿ + (bd)ⁿ     [(1) और (2) का प्रयोग करते हुए]

= aⁿ cⁿ + bⁿcⁿ+ bⁿ cⁿ + bⁿ dⁿ

= aⁿ cⁿ + bⁿcⁿ+ aⁿ dⁿ + bⁿ dⁿ    [(3) का उपयोग करते हुए]

= cⁿ (aⁿ + bⁿ) + dⁿ (aⁿ + bⁿ)

= (aⁿ + bⁿ) (cⁿ + dⁿ)

= दायाँ पक्ष

∴ (bⁿ + cⁿ)² = (aⁿ + bⁿ) (cⁿ + dⁿ)

अतः (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।