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प्रश्न
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि aq−r br−p cp−q = 1
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उत्तर
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद A और सार्व अनुपात R है
pवाँ पद = ARp – 1 = a .....(i)
qवाँ पद = ARq – 1 = b .....(ii)
rवाँ पद = ARr – 1 = c .....(iii)
समीकरण (i) की q – r, समीकरण (ii) की r – p, समीकरण (iii) की p – q घात का प्रयोग करने पर,
aq−r. br−p. cp−q = (ARp−1)q −r. (ARq−1)r−p. (ARr−1)p−q
= `"A"^("q" - "r" + "r" - "p" + "p" - "q") "R"^(("p" - 1) ("q" - "r") + ("q" - 1) ("r" - "p") + ("r" - 1) ("p" - "q"))`
= `"A"^0. "R"^("p" ("q" - "r") - 1 ("q" - "r") + q ("r" - "p") - 1("r" - "p") + r ("p" - "q") - 1("p" - "q"))`
= `"R"^("pq" - "pr" - "q" + "r" + "qr"- "pq" - "r" + "p" + "rp" - "rp" - "p "+ "q")`
= R0
= 1
इस प्रकार, दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।
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