Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि aq−r br−p cp−q = 1
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद A और सार्व अनुपात R है
pवाँ पद = ARp – 1 = a .....(i)
qवाँ पद = ARq – 1 = b .....(ii)
rवाँ पद = ARr – 1 = c .....(iii)
समीकरण (i) की q – r, समीकरण (ii) की r – p, समीकरण (iii) की p – q घात का प्रयोग करने पर,
aq−r. br−p. cp−q = (ARp−1)q −r. (ARq−1)r−p. (ARr−1)p−q
= `"A"^("q" - "r" + "r" - "p" + "p" - "q") "R"^(("p" - 1) ("q" - "r") + ("q" - 1) ("r" - "p") + ("r" - 1) ("p" - "q"))`
= `"A"^0. "R"^("p" ("q" - "r") - 1 ("q" - "r") + q ("r" - "p") - 1("r" - "p") + r ("p" - "q") - 1("p" - "q"))`
= `"R"^("pq" - "pr" - "q" + "r" + "qr"- "pq" - "r" + "p" + "rp" - "rp" - "p "+ "q")`
= R0
= 1
इस प्रकार, दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
गुणोत्तर श्रेणी `5/2, 5/4, 5/8, ......` का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः p, q तथा s हैं तो दिखाइए कि q2 = ps.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद –3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
अनुक्रम का कौन सा पद:
`2, 2sqrt2, 4, ......; 128` है?
अनुक्रम का कौन सा पद:
`1/3, 1/9, 1/27` ,....., `1/19683` है?
x के किस मान के लिए संख्याएँ `-2/7, "x", (-7)/2` गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
0.15, 0.015, 0.0015, ….., 20 पदों तक
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
1, −a, a2, −a3, ...... n पदों तक (यदि a ≠ –1)
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल `39/10` है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
गुणोत्तर श्रेणी 3, 32, 33, …. के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar2, … arn – 1 तथा A, AR, AR2, …. ARn – 1 के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P2 = (ab)n
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x). f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं `sum_("x" = 1)^ "n"` f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।
किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
