Question

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि a^q−r b^r−p c^p−q = 1

Answer 1

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद A और सार्व अनुपात R है

pवाँ पद = AR^{p – 1} = a     .....(i)

qवाँ पद = AR^{q – 1} = b     .....(ii)

rवाँ पद = AR^{r – 1} = c     .....(iii)

समीकरण (i) की q – r, समीकरण (ii) की r – p, समीकरण (iii) की p – q घात का प्रयोग करने पर,

a^q−r. b^r−p. c^p−q  = (AR^p−1)^{q −r}. (AR^q−1)^r−p. (AR^r−1)^p−q

= `"A"^("q" - "r" + "r" - "p" + "p" - "q") "R"^(("p" - 1) ("q" - "r") + ("q" - 1) ("r" - "p") + ("r" - 1) ("p" - "q"))`

= `"A"^0. "R"^("p" ("q" - "r") - 1 ("q" - "r") + q ("r" - "p") - 1("r" - "p") + r ("p" - "q") - 1("p" - "q"))`

= `"R"^("pq" - "pr" - "q" + "r" + "qr"- "pq" - "r" + "p" + "rp" - "rp" - "p "+ "q")`

= R⁰ 

= 1

इस प्रकार, दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।