Question

x-अक्ष के ऊपर परवलय y² = ax और वृत्त x² + y² = 2ax के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

वक्रों की दिये हुए समीकरणों को हल करने पर, 

हमें प्राप्त होता है: x² + ax = 2ax

जिससे x = 0 या x = a प्राप्त होते हैं। 

इससे क्रमश: y = 0 और y = ± a प्राप्त होता है।

आकृति 8.8 से, ODAB क्षेत्र का क्षेत्रफल

= `int_0^a (sqrt(2"a"x-x^2) - sqrt("a"x)) "d"x`

मान लीजिए कि x = 2a sin²θ  है।

तब, dx = 4a sinθ cosθ dθ तथा x = 0,

⇒ θ = 0, x = a 

⇒ θ = `pi/4`

पुन:, `int_0"a" sqrt(2"a"x - x^2)  "d"x = int_0^(pi/4) (2"a" sintheta costheta)(4"a" sintheta costheta)"d"theta`

= `"a"^2 int_0^(pi/4) (1 - cos 4theta) "d"theta`

= `"a"^2(theta - (sin 4theta)/4)_0^(pi/4)`

= `pi/4 "a"^2` इसके साथ ही,

`int_0^"a" sqrt("a"x)  "d"x = sqrt("a") 2/3 (x^(3/2))_0^"a"`

= `2/3 "a"^2`

इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `pi/4 "a"^2 - 2/3 "a"^2`

= `"a"^2 (pi/4 - 2/3)` वर्ग इकाई