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प्रश्न
x-अक्ष के ऊपर परवलय y2 = ax और वृत्त x2 + y2 = 2ax के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
वक्रों की दिये हुए समीकरणों को हल करने पर,
हमें प्राप्त होता है: x2 + ax = 2ax
जिससे x = 0 या x = a प्राप्त होते हैं।
इससे क्रमश: y = 0 और y = ± a प्राप्त होता है।
आकृति 8.8 से, ODAB क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `int_0^a (sqrt(2"a"x-x^2) - sqrt("a"x)) "d"x`
मान लीजिए कि x = 2a sin2θ है।
तब, dx = 4a sinθ cosθ dθ तथा x = 0,
⇒ θ = 0, x = a
⇒ θ = `pi/4`
पुन:, `int_0"a" sqrt(2"a"x - x^2) "d"x = int_0^(pi/4) (2"a" sintheta costheta)(4"a" sintheta costheta)"d"theta`
= `"a"^2 int_0^(pi/4) (1 - cos 4theta) "d"theta`
= `"a"^2(theta - (sin 4theta)/4)_0^(pi/4)`
= `pi/4 "a"^2` इसके साथ ही,
`int_0^"a" sqrt("a"x) "d"x = sqrt("a") 2/3 (x^(3/2))_0^"a"`
= `2/3 "a"^2`
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `pi/4 "a"^2 - 2/3 "a"^2`
= `"a"^2 (pi/4 - 2/3)` वर्ग इकाई
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