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प्रश्न
रेखाओं y = 4x + 5, y = 5 – x और 4y = x + 5 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया है कि y = 4x + 5 .....(i)
y = 5 – x ......(ii)
और 4y = x + 5 ......(iii)
| x | 0 | `-5/4` |
| y | 5 | 0 |
| x | 0 | 5 |
| y | 5 | 0 |
| x | 0 | –5 |
| y | `5/4` | 0 |
समीकरणों (i) और (ii) को हल करना
हमें 4x + 5 = 5 – x प्राप्त होता है
⇒ x = 0 और y = 5
∴ A के निर्देशांक = (0, 5)
समीकरणों (ii) और (iii) को हल करना
y = 5 – x
4y = x + 5
5y = 10
∴ y = 2 and x = 3
∴ B के निर्देशांक = (3, 2)
समीकरणों (i) और (iii) को हल करना
y = 4x + 5
4y = x + 5
⇒ 4(4x + 5) = x + 5
⇒ 16x + 20 = x + 5
⇒ 15x = – 15
∴ x = –1 और y = 1
∴ C के निर्देशांक = (–1, 1).
∴ वाँछित क्षेत्रों का क्षेत्रफल = `int_(-1)^0 "y"_"AC" "d"x + int_0^3 "y"_"AB" "d"x - int_(-1)^3 "y"_"CB" "d"x`
= `int_(-1)^0 (4x + 5) "d"x + int_0^3 (5 - x) "d"x - int_(-1)^3 (x + 5)/4 "d"x`
= `[4 x^2/2 + 5x]_-1^0 + [5x - x^2/2]_0^3 - 1/4[x^2/2 + 5x]_-1^3`
= `[(0 + 0) - (2 - 5)] + [(15 - 9/2) - (0 - 0)] - 1/4[(9/2 + 15) - (1/2 - 5)]`
= `3 + 21/2 - 1/4[39/2 + 9/2]`
= `3 + 21/2 - 1/4 xx 24`
⇒ `3 + 21/2 - 6`
= `15/2` वर्ग इकाई
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `15/2` वर्ग इकाई
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