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प्रश्न
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
समीकरण |x| + |y| = 1 चार सरल रेखाओं को निरूपित करते हैं।
(i) x > 0, y > 0, x + y = 1
∴ y = 1 – x
(ii) x < 0, y > 0, -x + y = 1
∴ x – y = -1
(iii) x < 0, y < 0, -x – y = 1
∴ x + y = -1
(iv) x > 0, y < 0, x – y = 1
इन रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ABCD का क्षेत्रफल
= 4 × ∆OAB का क्षेत्रफल
`= 4 int_0^1 "y dx" = 4 int_0^1 (1 - x) "dx"`
`= 4[x - x^2/2]_0^1`
`= 4[1 - 1/2]`
`= 4 xx 1/2`
= 2 वर्ग इकाई
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y-अक्ष, y = cosx, y = sinx, 0 ≤ x ≤ `pi/2` से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
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प्रथम चतुर्थाश में, x-अक्ष, रेखा y = x और वृत्त x2 + y2 = 32 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
परवलय y2 = x और सरल रेखा 2y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
दीर्घवृत्त `x^2/25 + "y"^2/16` = 1 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
