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प्रश्न
प्रथम चतुर्थाश में, x-अक्ष, रेखा y = x और वृत्त x2 + y2 = 32 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
विकल्प
16π वर्ग इकाई
4π वर्ग इकाई
32π वर्ग इकाई
24π वर्ग इकाई
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उत्तर
सही उत्तर 4π वर्ग इकाई है।
व्याख्या:
वृत्त का समीकरण दिया गया है x2 + y2 = 32
⇒ x2 + y2 = `(4sqrt(2))^2` और रेखा y = x और x-अक्ष है।
दो समीकरणों को हल करना
हमें प्राप्त होता है: x2 + x2 = 32
⇒ 2x2 = 32
⇒ x2 = 16
∴ x = ± 4
वाँछित क्षेत्रफल = `int_0^4 x "d"x + int_4^(4sqrt(2)) sqrt((4sqrt(2))^2 - x^2) "d"x`
= `1/2 [x^2]_0^4 + [x/2 sqrt((4sqrt(2))^2 - x^2) + 32/2 sin^-1 x/(4sqrt(2))]_4^(4/sqrt(2))`
= `1/2 [16 - 0] + [0 + 16 sin^-1 ((4sqrt(2))/(4sqrt(2))) - 2sqrt(32 - 16) - 16sin^-1 4/(4sqrt(2))]`
= `8 + [16 sin^-1 (1) - 8 - 16sin^-1 1/sqrt(2)]`
= `8 + 16 * pi/2 - 8 - 16 * pi/4`
= `8pi - 4pi`
= 4π वर्ग इकाई
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