Question

किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।

Answer 1

माना भुजा BC का लंब समद्विभाजक और ∠A का कोण समद्विभाजक बिंदु D पर मिलता है। मान लीजिए कि भुजा BC का लंब समद्विभाजक इसे E पर प्रतिच्छेद करता है।

भुजा BC का लंब समद्विभाजक वृत्त के परिकेन्द्र O से होकर जाएगा। ∠BOC और ∠BAC चाप BC द्वारा वृत्त के शेष भाग पर क्रमशः केंद्र पर और एक बिंदु A द्वारा अंतरित कोण हैं। हम यह भी जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

∠BOC = 2 ∠BAC = 2 ∠A ... (1)

In ΔBOE तथा ΔCOE,

OE = OE (सामान्य)

OB = OC (एक ही वृत्त की त्रिज्या)

∠OEB = ∠OEC (प्रत्येक 90° as OD ⊥ BC)

∴ ΔBOE ≅ ∠COE (RHS सर्वांगसमता नियम)

∠BOE = ∠COE (By CPCT) ... (2)

हालाँकि, ∠BOE + ∠COE = ∠BOC

⇒ ∠BOE +∠BOE = 2 ∠A [समीकरण (1) और (2) का उपयोग करना]

⇒ 2 ∠BOE = 2 ∠A

⇒ ∠BOE = ∠A

∴ ∠BOE = ∠COE = ∠A

भुजा BC का लंब समद्विभाजक और ∠A का कोण समद्विभाजक बिंदु ∠D पर मिलते हैं।

∴ ∠BOD = ∠BOE = ∠A ... (3)

चूँकि AD कोण का समद्विभाजक है ∠A,

∠BAD = ∠A/2

⇒ 2 ∠BAD = ∠A ... (4)

समीकरण (3) और (4) से, हम प्राप्त करते हैं

∠BOD = 2 ∠BAD

यह तभी संभव हो सकता है जब बिंदु BD वृत्त की जीवा हो। इसके लिए बिंदु D वृत्त वृत्त पर स्थित है।

अत: भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक और ∠A का कोण समद्विभाजक त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर मिलते हैं।