Advertisements
Advertisements
Question
किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
Advertisements
Solution
माना भुजा BC का लंब समद्विभाजक और ∠A का कोण समद्विभाजक बिंदु D पर मिलता है। मान लीजिए कि भुजा BC का लंब समद्विभाजक इसे E पर प्रतिच्छेद करता है।
भुजा BC का लंब समद्विभाजक वृत्त के परिकेन्द्र O से होकर जाएगा। ∠BOC और ∠BAC चाप BC द्वारा वृत्त के शेष भाग पर क्रमशः केंद्र पर और एक बिंदु A द्वारा अंतरित कोण हैं। हम यह भी जानते हैं कि एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
∠BOC = 2 ∠BAC = 2 ∠A ... (1)
In ΔBOE तथा ΔCOE,
OE = OE (सामान्य)
OB = OC (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
∠OEB = ∠OEC (प्रत्येक 90° as OD ⊥ BC)
∴ ΔBOE ≅ ∠COE (RHS सर्वांगसमता नियम)
∠BOE = ∠COE (By CPCT) ... (2)
हालाँकि, ∠BOE + ∠COE = ∠BOC
⇒ ∠BOE +∠BOE = 2 ∠A [समीकरण (1) और (2) का उपयोग करना]
⇒ 2 ∠BOE = 2 ∠A
⇒ ∠BOE = ∠A
∴ ∠BOE = ∠COE = ∠A
भुजा BC का लंब समद्विभाजक और ∠A का कोण समद्विभाजक बिंदु ∠D पर मिलते हैं।
∴ ∠BOD = ∠BOE = ∠A ... (3)
चूँकि AD कोण का समद्विभाजक है ∠A,
∠BAD = ∠A/2
⇒ 2 ∠BAD = ∠A ... (4)
समीकरण (3) और (4) से, हम प्राप्त करते हैं
∠BOD = 2 ∠BAD
यह तभी संभव हो सकता है जब बिंदु BD वृत्त की जीवा हो। इसके लिए बिंदु D वृत्त वृत्त पर स्थित है।
अत: भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक और ∠A का कोण समद्विभाजक त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर मिलते हैं।
RELATED QUESTIONS
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
एक वृत्त की क्रमशः 5 सेमी 11 सेमी लम्बाई की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से होकर जाने वाला वृत्त, CD (यदि आवश्यक हो तो) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।
एक त्रिभुज ABC के कोण A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण हैं `90^@-1/2A, 90^@-1/2B" तथा "90^@-1/2C` हैं
दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है कि A शीर्षों B, C और D से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है। सिद्ध कीजिए कि ∠CBD + ∠CDB = `1/2` ∠BAD है।
एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के अंतर्गत इस प्रकार है कि AB वृत्त का व्यास है और ∠ADC = 130° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
