Question

AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।

Answer 1

मान लीजिए कि दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर काट रही हैं।

In ΔAOB तथा ΔCOD,

OA = OC (दिया गया)

OB = OD (दिया गया)

∠AOB = ∠COD (लंबवत विपरीत कोण)

ΔAOB ≅ ΔCOD (SAS सर्वांगसमता नियम)

AB = CD (By CPCT)

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि ΔAOD ≅ ΔCOB

∴ AD = CB (By CPCT)

चूँकि चतुर्भुज ACBD में, सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

∴ ∠A = ∠C

हालाँकि, A + C = 180° (ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है)

⇒ ∠A + ∠A = 180°

⇒ 2 ∠A = 180°

⇒ ∠A = 90°

चूँकि ACBD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक आंतरिक कोण 90° का है, इसलिए यह एक आयत है।

∠A जीवा BD द्वारा अंतरित कोण है। और चूँकि ∠A = 90° है, इसलिए BD वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसी प्रकार, AC वृत्त का व्यास है।