Advertisements
Advertisements
प्रश्न
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए कि दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर काट रही हैं।
In ΔAOB तथा ΔCOD,
OA = OC (दिया गया)
OB = OD (दिया गया)
∠AOB = ∠COD (लंबवत विपरीत कोण)
ΔAOB ≅ ΔCOD (SAS सर्वांगसमता नियम)
AB = CD (By CPCT)
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि ΔAOD ≅ ΔCOB
∴ AD = CB (By CPCT)
चूँकि चतुर्भुज ACBD में, सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠A = ∠C
हालाँकि, A + C = 180° (ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है)
⇒ ∠A + ∠A = 180°
⇒ 2 ∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°
चूँकि ACBD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक आंतरिक कोण 90° का है, इसलिए यह एक आयत है।
∠A जीवा BD द्वारा अंतरित कोण है। और चूँकि ∠A = 90° है, इसलिए BD वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसी प्रकार, AC वृत्त का व्यास है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
आकृति में, ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
एक वृत्त की दो समानांतर जीवाओं की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर है, तो केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी क्या है?
सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A, B और C से होकर जाने वाला वृत्त, CD (यदि आवश्यक हो तो) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें ∠A = 90°, ∠B = 70°, ∠C = 95° और ∠D = 105° है।
यदि A, B, C और D चार बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAC = 45° और ∠BDC = 45° है, तो A, B, C और D चक्रीय है।
