Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक चक्रीय है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - ABCD एक समलंब है जिसकी असमांतर भुजाएँ AD और BC बराबर हैं।
सिद्ध करना है - समलंब ABCD चक्रीय है।
BE को मिलाने पर, जहाँ BE || AD
प्रमाण - चूँकि, AB || DE और AD || BE
चूँकि, चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ ∠BAD = ∠BED ...(i) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
तथा AD = BE ...(ii) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
लेकिन AD = BC [दिया गया है।] ...(iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,
BC = BE
⇒ ∠BEC = ∠BCE ...(iv) [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
साथ ही, ∠BEC + ∠BED = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∴ ∠BCE + ∠BAD = 180° ...[समीकरण (i) और (iv) से]
यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
अत:, समलंब ABCD एक चक्रीय है।
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृति में, ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
एक वृत्त की क्रमशः 5 सेमी 11 सेमी लम्बाई की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि एक कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त के साथ समान जीवाओं AD और CE को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC, जीवाओं AC और DE द्वारा केंद्र में अंतरित कोणों के अंतर के आधे के बराबर है।
सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
यदि A, B, C और D चार बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAC = 45° और ∠BDC = 45° है, तो A, B, C और D चक्रीय है।
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर है, तो सिद्ध कीजिए कि इसके विकर्ण भी बराबर हैं।
