Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक चक्रीय है।
Advertisements
उत्तर
दिया गया है - ABCD एक समलंब है जिसकी असमांतर भुजाएँ AD और BC बराबर हैं।
सिद्ध करना है - समलंब ABCD चक्रीय है।
BE को मिलाने पर, जहाँ BE || AD
प्रमाण - चूँकि, AB || DE और AD || BE
चूँकि, चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ ∠BAD = ∠BED ...(i) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
तथा AD = BE ...(ii) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
लेकिन AD = BC [दिया गया है।] ...(iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,
BC = BE
⇒ ∠BEC = ∠BCE ...(iv) [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
साथ ही, ∠BEC + ∠BED = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∴ ∠BCE + ∠BAD = 180° ...[समीकरण (i) और (iv) से]
यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
अत:, समलंब ABCD एक चक्रीय है।
अतः सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD हैं।
एक वृत्त की दो समानांतर जीवाओं की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर है, तो केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी क्या है?
सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।
किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें ∠A = 90°, ∠B = 70°, ∠C = 95° और ∠D = 105° है।
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समांतर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
