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Question
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक चक्रीय है।
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Solution
दिया गया है - ABCD एक समलंब है जिसकी असमांतर भुजाएँ AD और BC बराबर हैं।
सिद्ध करना है - समलंब ABCD चक्रीय है।
BE को मिलाने पर, जहाँ BE || AD
प्रमाण - चूँकि, AB || DE और AD || BE
चूँकि, चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ ∠BAD = ∠BED ...(i) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
तथा AD = BE ...(ii) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
लेकिन AD = BC [दिया गया है।] ...(iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,
BC = BE
⇒ ∠BEC = ∠BCE ...(iv) [समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
साथ ही, ∠BEC + ∠BED = 180° ...[रैखिक युग्म अभिगृहीत]
∴ ∠BCE + ∠BAD = 180° ...[समीकरण (i) और (iv) से]
यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
अत:, समलंब ABCD एक चक्रीय है।
अतः सिद्ध हुआ।
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