Theorems and Laws [6]
संलग्न आकृति में ΔPQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें बिंदु S यह रेख QR पर इस प्रकार है कि, QS = `1/3`QR तो सिद्ध कीजिए कि; 9PS2 = 7PQ2
उपपत्ति : रेख PT ⊥ भुजा QR इस प्रकार खींचो कि, Q-T-R.
ΔPQR एक समबाहु त्रिभुज है |
∴ PQ = QR = PR .............(समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ) .........(1)
∠Q = 60° .............(समबाहु त्रिभुज के कोण) .........(2)
ΔPQT में,
∠PTQ + ∠PQT + ∠QPT = 180° .............(त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180°)
∴ 90° + 60° + ∠QPT = 180° ...........[रचना और (2) से]
∴ 150° + ∠QPT = 180°
∴ ∠QPT = 180° = 150°
∴ ∠QPT = 30°
∴ ΔPQT एक 30° - 60° - 90° त्रिभुज है |
∴ त्रिभुज के 30° - 60° - 90° के प्रमेय से,
PT = `sqrt3/2`PQ ............(60° की सम्मुख भुजा)
QT = `1/2`PQ ............(30° की सम्मुख भुजा)
QS + ST = QT ............(Q-S-T)
∴ `1/3`QR + ST = `1/2`PQ
∴ `1/3`PQ + ST = `1/2`PQ .............[(1) से]
∴ ST = `1/2`PQ - `1/3`PQ
∴ ST = `(3"PQ" - 2"PQ")/6`
∴ ST = `"PQ"/6`
ΔTPS में,
∠PTS = `90^circ` ...............(रचना)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
`"PS"^2 = "PT"^2 + "ST"^2`
∴ `"PS"^2 = (sqrt3/2 "PQ")^2 + ("PQ"/6)^2`
∴ `"PS"^2 = (3"PQ"^2)/4 + ("PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = (27"PQ"^2 + "PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = (28"PQ"^2)/36`
∴ `"PS"^2 = (7"PQ"^2)/9`
∴ 9PS2 = 7PQ2
आकृति में रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है और PT ⊥ QR तो सिद्ध कीजिए कि,
(1) PR2 = PS2 + QR × ST + `("QR"/2)^2`
(2) PQ2 = PS2 - QR × ST + `("QR"/2)^2`
रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है | ...........(दत्त)
∴ QS = SR = `1/2`QR ............(बिंदु S यह भुजा QR मध्यबिंदु है) ....(1)
ΔPTS में, ∠PTS = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PS2 = PT2 + TS2 ...........(2)
(i) ΔPTR में, ∠PTR = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PR2 = PT2 + TR2
∴ PR2 = PT2 + (TS + SR)2 ...........(T-S-R)
∴ PR2 = PT2 + TS2 + 2ST × SR + SR2 .....[(a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
∴ PR2 = (PT2 + TS2) + 2ST × SR + SR2
∴ PR2 = PS2 + 2ST × `("QR"/2) + ("QR"/2)^2` ......[(1) और (2) से]
∴ PR2 = PS2 + QR × ST + `("QR"/2)^2`
(ii) ΔPTQ में, ∠PTQ = 90° ..........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PQ2 = PT2 + TQ2
∴ PQ2 =PT2 + (QS - TS)2 .....................(Q-T-S)
∴ PQ2 = PT2 + QS2 - 2QS × TS + TS2 ......[(a - b)2 = a2 - 2ab + b2]
∴ PQ2 = (PT2 + TS2) - 2QS × TS + QS2
∴ PQ2 = PS2 - 2`("QR"/2) xx "TS" + ("QR"/2)^2` ....................[(1) और (2) से]
∴ PQ2 = PS2 - QR × ST + `("QR"/2)^2`
आकृति में दर्शाएनुसार बिंदु T यह आयत PQRS के अंतर्भाग में स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, TS2 + TQ2 = TP2 + TR2 (आकृति में दर्शाएअनुसार रेख AB || भुजा SR ऐसा खींचिए कि A-T-B)
रचना: बिंदु T से रेख AB || भुजा SR इस प्रकार खींचो कि A-T-B, P-A-S और Q-B-R.
उपपत्ति: रेख PS || रेख QR .......(आयात की सम्मुख भुजा)
∴ रेख AS || रेख BR ..........(P-A-S और Q-B-R)
रेख AB || रेख SR ............(रचना)
∴ `square`ASRB एक समांतर चतुर्भुज है | .......(परिभाषा से)
∠PSR = 90° ..........(आयत PQRS का कोण)
∴ `square`ASRB एक आयत है | ....(समांतर चतुर्भुज में यदि एक कोण समकोण हो, तो वह आयत होता है)
∠SAB = ∠ABR = 90° ......(आयत के कोण)
∴ रेख TA ⊥ भुजा PS और रेख TB ⊥ भुजा QR ............(1)
AS = BR ..........(आयत की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम होती है) ........(2)
उसी प्रकार, हम सिद्ध क्र सकते है, AP = BQ ..........(3)
ΔTAS में,
∠TAS = 90° ........[(1) से]
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
TS2 = TA2 + AS2 ........(4)
ΔTBQ में,
∠TBQ = 90° ........[(1) से]
पायथागोरस के प्रमेय से,
TQ2 = TB2 + BQ2 .................(5)
(4) और (5) को जोड़ने पर,
TS2 + TQ2 = TA2 + AS2 + TB2 + BQ2 .................(6)
ΔTAP में,
∠TAP = 90° ........[(1) से]
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
TP2 = TA2 + AP2 ......(7)
ΔTBR में,
∠TBR = 90° ........[(1) से]
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
TR2 = TB2 + BR2 .........(8)
(7) और (8) को जोड़ने पर,
TP2 + TR2 = TA2 + AP2 + TB2 + BR2
∴ TP2 + TR2 = TA2 + BQ2 + TB2 + AS2 ....[(2) और (3) से] .......(9)
∴ (6) और (9) से,
TS2 + TQ2 = TP2 + TR2.
आकृति में M यह भुजा QR का मध्यबिंदु है। ∠PRQ = 90° तो सिद्ध कीजिए कि, PQ2 = 4PM2 - 3PR2
ΔPRQ में, ∠PRQ = 90° .............(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PQ2 = PR2 + QR2 ............(1)
ΔPRM में, ∠PRM = 90° .............(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
PM2 = PR2 + RM2 ............(2)
∴ RM = `1/2"PQ"` ..........(बिंदु M, रेख PQ का मध्यबिंदु है) .....(3)
∴ PM2 = PR2 + `(1/2"RQ")^2` ...........[(2) और (3) से]
∴ PM2 = PR2 + `1/4"RQ"^2`
दोनों पक्षों में 4 से गुणा करने पर,
4PM2 = 4PR2 + RQ2
4PM2 = 3PR2 + (PR2 + RQ2)
∴ 4PM2 = 3PR2 + PR2 ........[(1) से]
∴ 4PM2 - 3PR2 = PQ2 या PQ2 = 4PM2 - 3PR2.
ΔABC में रेख AD ⊥ रेख BC और DB = 3CD, तो सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2
उपपत्ति :
DB = 3CD ............(दत्त) .................(1)
ΔADB में,
∠ADB = 90° .........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
AB2 = AD2 + DB2
∴ AB2 = AD2 + (3CD)2 ............[(1) से]
∴ AB2 = AD2 + 9CD2
दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,
2AB2 = 2AD2 + 18CD2 ............(2)
ΔADC में,
∠ADC = 90° .........(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
AC2 = AD2 + DC2
∴ 2AC2 = 2AD2 + 2DC2 ............(3)
BC = BD + CD .........(B-D-C)
∴ BC = 3CD + CD ...............[(1) से]
∴ BC = 4CD
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
BC2 = 16CD2 ............(4)
(3) और (4) को जोड़ने पर,
2AC2 + BC2 = 2AD2 + 2CD2 + 16CD2
∴ 2AC2 + BC2 = 2AD2 + 18CD2 ...............(5)
(3) और (5) से,
2AB2 = 2AC2 + BC2
आकृति में M-Q-R-N दी गई जानकारी के आधार पर सिद्ध कीजिए कि : PM = PN = `sqrt3 xx a`
PQ = PR = QR = QM = RN = a .........(दत्त) ..........(1)
ΔPMR में,
QM = QR .............[(1) से]
∴ रेख PQ माध्यिका है |
∴ अपोलोनियस के प्रमेय से,
PM2 + PR2 = 2PQ2 + 2QM2
∴ PM2 + a2 = 2a2 + 2a2 ...................[(1) से]
∴ PM2 = 4a2 - a2
∴ PM2 = 3a2
∴ PM = `sqrt3a`
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते है कि, PN = `sqrt3a`
∴ PM = PN = `underline(sqrt3a)`.
Important Questions [14]
- A तथा b प्राकृत संख्याएँ हैं। (a > b). यदि (a2 + b2), (a2 – b2) तथा 2ab त्रिभुज की भुजाएँ हैं, तो सिद्ध करो कि यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है। a तथा b के योग्य मान लेकर
- निम्नलिखित बहुवैकल्पिक प्रश्न के दिए गए उत्तरों में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए। निम्नलिखित में से कौन-से दिनांक की संख्या पायथागोरस का त्रिक् हैं?
- निम्नलिखित में से कौन-सा पायथागोरस का त्रिक् है?
- आकृति में ∠MNP = 90°, रेख NQ ⊥ रेख MP, MQ = 9, QP = 4, तो NQ का मान ज्ञात कीजिए।
- ∆RST में, ∠S = 90°, ∠T = 30°, RT = 12 सेमी, तो RS का मान ज्ञात कीजिए।
- यदि वर्ग के विकर्ण की लंबाई 10sqrt2 सेमी हो, तो उस वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- किसी आयत की लंबाई 35 सेमी तथा चौड़ाई 12 सेमी हो तो उस आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- किसी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाएँ क्रमश: 9 सेमी तथा 12 सेमी हों तो उस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- यदि a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं और a2 + b2 = c2 हो, तो उस त्रिभुज के प्रकार का नाम लिखिए?
- दी गई आकृति में, □ABCD एक आयत है। यदि AB = 5, AC = 13 हो, तो BC ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करों: कृति: ΔABC यह □ त्रिभुज है। पायथागोरस प्रमेय से
- ΔABC में, ∠ABC = 90°, ∠BAC = ∠BCA = 45°. यदि AC = 92 हो, तो AB का मान ज्ञात करो।
- ΔABC में AB = 9 सेमी, BC = 40 सेमी, AC = 41 सेमी। स्पष्ट करो कि ΔABC समकोण त्रिभुज है या नहीं? कारण लिखो।
- ΔABC में रेख AP माध्यिका है। यदि BC = 18, AB2 + AC2 = 260 तो AP ज्ञात कीजिए।
- ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है PM = 9 और PQ2 + PR2 = 290 हो, तो QR ज्ञात कीजिए।
