Revision: पाइथागोरस का प्रमेय Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - ज्यामिति] SSC (Hindi Medium) 10th Standard Board Exam [१० वीं कक्षा] Maharashtra State Board

उपपत्ति : रेख PT ⊥ भुजा QR इस प्रकार खींचो कि, Q-T-R.

ΔPQR एक समबाहु त्रिभुज है |

∴ PQ = QR = PR .............(समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ) .........(1)

∠Q = 60° .............(समबाहु त्रिभुज के कोण) .........(2)

ΔPQT में,

∠PTQ + ∠PQT + ∠QPT = 180° .............(त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180°)

∴ 90° + 60° + ∠QPT = 180° ...........[रचना और (2) से]

∴ 150° + ∠QPT = 180°

∴ ∠QPT = 180° = 150°

∴ ∠QPT = 30°

∴ ΔPQT एक 30° - 60° - 90° त्रिभुज है |

∴ त्रिभुज के 30° - 60° - 90° के प्रमेय से,

PT = `sqrt3/2`PQ ............(60° की सम्मुख भुजा)

QT = `1/2`PQ ............(30° की सम्मुख भुजा)

QS + ST = QT ............(Q-S-T)

∴ `1/3`QR + ST = `1/2`PQ

∴ `1/3`PQ + ST = `1/2`PQ .............[(1) से]

∴ ST = `1/2`PQ - `1/3`PQ

∴ ST = `(3"PQ" - 2"PQ")/6`

∴ ST = `"PQ"/6`

ΔTPS में,

∠PTS = `90^circ` ...............(रचना)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

`"PS"^2 =  "PT"^2 + "ST"^2`

∴ `"PS"^2 = (sqrt3/2 "PQ")^2 + ("PQ"/6)^2`

∴ `"PS"^2 = (3"PQ"^2)/4 + ("PQ"^2)/36`

∴ `"PS"^2 = (27"PQ"^2 + "PQ"^2)/36`

∴ `"PS"^2 = (28"PQ"^2)/36`

∴ `"PS"^2 = (7"PQ"^2)/9`

∴ 9PS² = 7PQ²  

रेख PS यह ΔPQR की माध्यिका है | ...........(दत्त)

∴ QS = SR = `1/2`QR ............(बिंदु S यह भुजा QR मध्यबिंदु है) ....(1)

ΔPTS में, ∠PTS = 90° ..........(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

PS² = PT² + TS² ...........(2) 

(i) ΔPTR में, ∠PTR = 90° ..........(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

PR² = PT² + TR²

∴ PR² = PT² + (TS + SR)² ...........(T-S-R) 

∴ PR² = PT² + TS² + 2ST × SR + SR² .....[(a + b)² = a² + 2ab + b²] 

∴ PR² = (PT² + TS²) + 2ST × SR + SR²  

∴ PR² = PS² + 2ST × `("QR"/2) + ("QR"/2)^2` ......[(1) और (2) से]

∴ PR² = PS² + QR × ST + `("QR"/2)^2`   

(ii) ΔPTQ में, ∠PTQ = 90° ..........(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

PQ² = PT² + TQ²

∴ PQ² =PT² + (QS - TS)² .....................(Q-T-S) 

∴ PQ² = PT² + QS² - 2QS × TS + TS² ......[(a - b)² = a² - 2ab + b²]  

∴ PQ² = (PT² + TS²) - 2QS × TS + QS² 

∴ PQ² = PS² - 2`("QR"/2) xx "TS" + ("QR"/2)^2` ....................[(1) और (2) से] 

∴ PQ² = PS² - QR × ST + `("QR"/2)^2`  

रचना: बिंदु T से रेख AB || भुजा SR इस प्रकार खींचो कि A-T-B, P-A-S और Q-B-R. 

उपपत्ति: रेख PS || रेख QR .......(आयात की सम्मुख भुजा)

∴ रेख AS || रेख BR ..........(P-A-S और Q-B-R)

रेख AB || रेख SR ............(रचना) 

∴ `square`ASRB एक समांतर चतुर्भुज है | .......(परिभाषा से)

∠PSR = 90° ..........(आयत PQRS का कोण)

∴ `square`ASRB एक आयत है | ....(समांतर चतुर्भुज में यदि एक कोण समकोण हो, तो वह आयत होता है)

∠SAB = ∠ABR = 90° ......(आयत के कोण)

∴ रेख TA ⊥ भुजा PS और रेख TB ⊥ भुजा QR ............(1)

AS = BR ..........(आयत की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम होती है) ........(2)

उसी प्रकार, हम सिद्ध क्र सकते है, AP = BQ ..........(3)

ΔTAS में,

∠TAS = 90° ........[(1) से]

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

TS² = TA² + AS² ........(4)

ΔTBQ में,

∠TBQ = 90° ........[(1) से]

पायथागोरस के प्रमेय से,

TQ² = TB² + BQ² .................(5)

(4) और (5) को जोड़ने पर,

TS² + TQ² = TA² + AS² + TB² + BQ² .................(6)

ΔTAP में,

∠TAP = 90° ........[(1) से]

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

TP² = TA² + AP² ......(7)

ΔTBR में,

∠TBR = 90° ........[(1) से]

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

TR² = TB² + BR² .........(8) 

(7) और (8) को जोड़ने पर,

TP² + TR² = TA² + AP² + TB² + BR² 

∴ TP² + TR² = TA² + BQ² + TB² + AS² ....[(2) और (3) से] .......(9)

∴ (6) और (9) से,

TS² + TQ² = TP² + TR².

ΔPRQ में, ∠PRQ = 90° .............(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

PQ² = PR² + QR² ............(1)

ΔPRM में, ∠PRM = 90° .............(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

PM² = PR² + RM² ............(2) 

∴ RM = `1/2"PQ"` ..........(बिंदु M, रेख PQ का मध्यबिंदु है) .....(3)

∴ PM² = PR² + `(1/2"RQ")^2` ...........[(2) और (3) से]

∴ PM² = PR² + `1/4"RQ"^2`

दोनों पक्षों में 4 से गुणा करने पर,

4PM² = 4PR² + RQ² 

4PM² = 3PR² + (PR² + RQ²)

∴ 4PM² = 3PR² + PR² ........[(1) से]

∴ 4PM² - 3PR² = PQ² या PQ² = 4PM² - 3PR².  

उपपत्ति :

DB = 3CD ............(दत्त) .................(1)

ΔADB में,

∠ADB  = 90° .........(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

AB² = AD² + DB²

∴ AB² = AD² + (3CD)² ............[(1) से]

∴ AB² = AD² + 9CD²

दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,

2AB² = 2AD² + 18CD² ............(2)

ΔADC में,

∠ADC  = 90° .........(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

AC² = AD² + DC²

∴ 2AC² = 2AD² + 2DC² ............(3)

BC = BD + CD .........(B-D-C)

∴ BC = 3CD + CD ...............[(1) से]

∴ BC = 4CD

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

BC² = 16CD² ............(4)

(3) और (4) को जोड़ने पर,

2AC² + BC² = 2AD² + 2CD² + 16CD²

∴ 2AC² + BC² = 2AD² + 18CD² ...............(5)

(3) और (5) से,

2AB² = 2AC² + BC²   

PQ = PR = QR = QM = RN = a .........(दत्त) ..........(1)

ΔPMR में,

QM = QR .............[(1) से]

∴ रेख PQ माध्यिका है | 

∴ अपोलोनियस के प्रमेय से,

PM² + PR² = 2PQ² + 2QM²

∴ PM² + a² = 2a² + 2a² ...................[(1) से]

∴ PM² = 4a² - a²

∴ PM² = 3a²

∴ PM = `sqrt3a`

इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते है कि, PN = `sqrt3a`

∴ PM = PN = `underline(sqrt3a)`.