Theorems and Laws [7]
सिद्ध कीजिए “यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर खींची गईं रेखा उसकी अन्य दो भुजाओं को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करे तो वह रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
दत्त: ΔABC में रेखा l || भुजा BC और रेखा l यह भुजा AB को बिंदु P पर तथा भुजा AC को बिंदु Q पर प्रतिच्छेदित करती है।
साध्य: `(AP)/(PB) = (AQ)/(QC)`
रचन: रेख PC तथा रेख BQ खींचिए।
उपपत्ति: ΔAPQ तथा ΔPQB समान ऊँचाई वाले त्रिभुज हैं।
∴ `(A(ΔAPQ))/(A (ΔPQB)) = (AP)/(PB)` ...(आधार के अनुपात में क्षेत्रफल) ...(I)
इसी प्रकार `(A(ΔAPQ))/(A (ΔPQC)) = (AQ)/(QC)` ...(आधार के अनुपात में क्षेत्रफल) ... (II)
ΔPQB तथा ΔPQC में रेख PQ सामान्य आधार है। रेख PQ || रेख BC इसलिए ΔPQB तथा ΔPQC की ऊँचाई समान है।
A (ΔPQB) = A(ΔPQC) ....(III)
∴ `(A(ΔAPQ))/(A (ΔPQB)) = (A(APQ))/(A(PQC))` ...[(I), (II) तथा (III)] से
∴`(AP)/(PB) = (AQ)/(QC)` ...[(I) तथ (II)] से
ΔPQR में रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिंदु X और बिंदु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR.
दिए गए रिक्त स्थानों को भरकर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
ΔPMQ में किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `underline("PM"/"MQ" = "PX"/"XQ")` ........(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
ΔPMR में किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `underline("PM"/"MR" = "PY"/"YR")` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
∴ XY || QR ............(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
`square`ABCD में रेख AD || रेख BC. विकर्ण AC और विकर्ण BD परस्पर एक दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि `"AP"/"PD" = "PC"/"BP"`
`square`ABCD में,
रेख AD || रेख BC तथा रेखा BD उसकी त्रियक रेखा है |
∴ ∠CAD ≅ ∠ACB ...........(एकांतर कोण)
अर्थात, ∠PAD ≅ ∠PCB ......(एक ही कोण के भिन्न नाम) ....(1)
अब, ΔPAD तथा ΔPCB में,
∠PAD ≅ ∠PCB .........[(1) से]
∠APD ≅ ∠CPB .........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔPAD ∼ ΔPCB ................(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"PA"/"PC" = "PD"/"PB"` ...........(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपात में होती है |)
∴ `"AP"/"PC" = "PD"/"BP"`
∴ `"AP"/"PD" = "PC"/"BP"` .........(एकांतरानुपात की क्रिया से)
आकृति में `square`DEFG एक वर्ग है। ΔABC में ∠A = 90°, बिंदु F भुजा AC पर स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, DE2 = BD × EC (ΔGBD तथा ΔCFE को समरूप दिखाइए और GD = FE = DE का उपयोग कीजिए।)
`square`DEFG एक वर्ग है। ...........(दत्त)
∴ DE = EF = GF = GD ...........(वर्ग की भुजाएँ) .....(1)
∠GDE = ∠DEF = 90° ...........(वर्ग के कोण)
∴ रेख GD ⊥ भुजा BC और रेख EF ⊥ भुजा BC
ΔBAC और ΔBDG में,
∠BAC ≅ ∠BDG ..........(प्रत्येक समकोण)
∠ABC ≅ ∠DBG ........(सामान्य कोण)
∴ ΔBAC ∼ ΔBDG .........(समरूपता की को-को कसौटी) .....(2)
इसी प्रकार, ΔBAC ∼ ΔFEC .........(3)
∴ ΔBDG ∼ ΔFEC ......[(2) और (3) से]
∴ `"BD"/"EF" = "GD"/"EC"` .....(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
∴ `"BD"/"DE" = "DE"/"EC"` ...[(1) से]
∴ DE2 = BD × EC.
संलग्न आकृति में `square`PQRS एक समलंब चतुर्भुज है। जिसमें भुजा PQ || भुजा SR, AR = 5AP, AS = 5AQ तो सिद्ध कीजिए कि, SR = 5PQ
भुजा PQ || भुजा SR तथा रेखा QS उनकी तिर्यक रेखा है | .....(दत्त)
∴ ∠PQS ≅ ∠RSQ ...........(एकांतर कोण प्रमेय)
∴ ∠PQA ≅ ∠RSA ........(Q-A-S) ........(1)
ΔPQA और ΔRSA में,
∠PQA ≅ ∠RSA .......[(1) से]
∠PAQ ≅ ∠RAS ......(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔPQA ∼ ΔRSA ..........(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"PQ"/"SR" = "AQ"/"AS" = "AP"/"AR"` ........(समरुप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात) ......(2)
AR = 5AP ........(दत्त) .....(3)
(3) का मान (2) में रखने पर,
`"PQ"/"SR" = "AQ"/"AS" = "AP"/(5"AP")`
∴ `"PQ"/"SR" = "AQ"/"AS" = 1/5`
∴ `"PQ"/"SR" = 1/5`
∴ SR = 5PQ.
AR = 5AP ........(दत्त)
∴ `"AR"/"AP" = 5/1` ...........(1)
AS = 5AQ
∴ `"AS"/"AQ" = 5/1` ...........(2)
ΔRAS और ΔPAQ में,
`"AR"/"AP" = "AS"/"AQ"` .....[(1) और (2) से]
∠RAS ≅ ∠PAQ ........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔRAS ∼ ΔPAQ ......(समरूपता की भु-को-भु कसौटी)
∴ `"AR"/"AP" = "SR"/"QP"` ........(स.त्रि.स.भु)
∴ `5/1 = "SR"/"QP"` ....[(1) से]
∴ SR = 5QP
∴ SR = 5PQ.
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा BC पर E कोई एक बिंदु है ; रेखा DE रेख AB को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करती है । तो सिद्ध कीजिए कि DE × BE = CE × TE।
`square`ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∠A ≅ ∠C ...........(सम्मुख कोण)
अर्थात, ∠A ≅ ∠DCE ...........(1)
रेख AD || रेख BC ........(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
∠A ≅ ∠TBE .........(संगत कोण) ........(2)
∴ ∠DCE ≅ ∠TBE ..........[(1) तथा (2) से] .......(3)
ΔDEC तथा ΔTEB में, ∠DCE ≅ ∠TBE .....(3 से)
∠DEC ≅ ∠TEB ..........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔDEC ∼ ΔTEB ........(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"DE"/"TE" = "CE"/"BE"` .............(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपात में होती है | )
∴ DE × BE = CE × TE.
ΔABC में रेख DE || भुजा BC | यदि 2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE), तो AB : AD का मान ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए BC = `sqrt3` DE |
दत्त: ΔABC में,
रेख DE || भुजा BC
2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE)
साध्य:
- AB : AD
- BC = `sqrt3` DE
उपपत्ति:
1. A(ΔABC) = A(ΔADE) + A(⬜ DBCE)
= A(ΔADE) + 2A(ΔADE) ........(पक्ष)
2. A(ΔABC) = 3A(ΔADE)
3. `("A"(Delta "ABC"))/("A"(Delta "ADE")) = 3/1`
ΔABC व ΔADE में,
∠A ≅ ∠A ....(सामान्य कोण)
∠ABC ≅ ∠ADE ...[संगत कोण (DE || BC)]
4. ΔABC ∼ ΔADE ...(को को कसौटी)
5. `("A"(Delta "ABC"))/("A"(Delta "ADE")) = "AB"^2/"AD"^2` ...(समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय)
6. `3/1 = "AB"^2/"AD"^2`
`sqrt3/1 = "AB"/"AD"`
AB : AD = `sqrt3` : 1
7. ΔABC ∼ ΔADE ...[विधान (4) से]
`"AB"/"AD" = "BC"/"DE"` ...(समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय)
`sqrt3/1 = "BC"/"DE"` ...[(4) से]
∴ BC = `sqrt3` DE
Important Questions [15]
- यदि ΔABC तथा ΔPQR में किसी एकैकी संगति से यदि 𝐴𝐵𝑄𝑅 =𝐵𝐶𝑃𝑅 =𝐶𝐴𝑃𝑄 तो निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
- सिद्ध कीजिए “यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर खींची गईं रेखा उसकी अन्य दो भुजाओं को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करे तो वह रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में
- ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR। दिए गए रिक्त स्थानों की
- ΔABC में, किरण BD यह ∠ABC का कोण समद्विभाजक है। A - D - C, रेख DE || भुजा BC, A - E - B हो, तो सिद्ध कीजिए ABBCAEEBABBC=AEEB उपपत्ति: ΔABC में, किरण BD यह ∠B को समद्विभाजित करता है।
- समलंब चतुर्भुज ABCD में, भुजा AB || भुजा PQ || भुजा DC, यदि AP = 15, PD = 12, QC = 14 तो BQ का मान ज्ञात कीजिए।
- ΔABC में, रेख XY || रेख AC. यदि 2AX = 3BX तथा XY = 9 हो, तो AC का मान ज्ञात करो।
- दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं। यदि APCP=BPDP हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो: कृति: ΔABP तथा ΔCDP में
- □ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD समलंब □ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं। इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए: दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये।
- □ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
- यदि Δ ABC और ~ Δ PQR और AB : PQ = 2 : 3 तो ABCPQRA(ΔABC)A(ΔPQR) का मान ज्ञात कीजिए।
- यदि ΔABC ∼ΔPQR, AB : PQ = 4 : 5 तथा A(ΔPQR) = 125 सेमी2 हो, तो A(ΔABC) का मान ज्ञात करो.
- ΔLMN ~ ΔPQR, 9 × A(ΔPQR ) = 16 × A (ΔLMN), यदि QR = 20 तो MN का मान ज्ञात कीजिए।
- यदि ΔABC ∼ ΔPQR तथा AABCAPQRA(ΔABC)A(ΔPQR)=1625, हो, तो AB : PQ का मान ज्ञात कीजिए।
- ΔABC में रेख DE || भुजा BC | यदि 2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE), तो AB : AD का मान ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए BC = 3 DE |
- ΔABC में B - D – C और BD = 7, BC = 20 तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए। ("A"(Δ"ABD"))/("A"(Δ"ABC"))
Concepts [7]
- दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ( Ratio of Areas of Two Triangles)
- समानुपात का मूलभूत प्रमेय (Basic Proportionality Theorem)
- समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम
- त्रिभुज के कोण समद्विभाजक का प्रमेय
- तीन समांतर रेखाएँ तथा उनकी तिर्यक रेखा का गुणधर्म (Property of Three Parallel Lines and Their Transversal)
- त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
- समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
