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Question
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
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Solution
उपपत्ति:
□ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है।
∴ AB = CD = 2CP ...(1)
ΔAXB तथा ΔCXP में,
∠AXB ≅ ∠CXP ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∠BAX ≅ ∠PCX ...(एकांतर कोण)
∴ ΔAXB ∼ ΔCXP ...(समरूपत्ता की को-को कसौटी)
∴ `(AX)/(CX) = (AB)/(CP)` ...(स. त्रि. स. भु.)
∴ `(AX)/(CX) = (AB)/(CP)` ...[(1) से]
∴ `(AX)/(CX) = 2/1`
∴ AX = 2CX
∴ CX = `(AX)/2` ...(2)
AC = AX + CX ...(A – X – C)
∴ AC = `AX + (AX)/2` ...[(2) से]
∴ AC = `(2AX + AX)/2`
∴ AC = `(3AX)/2`
∴ 2AC = 3AX
अर्थात, 3AX = 2AC.
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DF = DP + `square = square + square = 3x`
ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`
A(ΔFDE) = `9/4`A(ΔFPQ ) = `9/4 xx square = square`
A(`square`DPQE) = A(ΔFDE) - A(ΔFPQ)
= `square - square`
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∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
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कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
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