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Question
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
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Solution
उपपत्ति:
□ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है।
∴ AB = CD = 2CP ...(1)
ΔAXB तथा ΔCXP में,
∠AXB ≅ ∠CXP ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∠BAX ≅ ∠PCX ...(एकांतर कोण)
∴ ΔAXB ∼ ΔCXP ...(समरूपत्ता की को-को कसौटी)
∴ `(AX)/(CX) = (AB)/(CP)` ...(स. त्रि. स. भु.)
∴ `(AX)/(CX) = (AB)/(CP)` ...[(1) से]
∴ `(AX)/(CX) = 2/1`
∴ AX = 2CX
∴ CX = `(AX)/2` ...(2)
AC = AX + CX ...(A – X – C)
∴ AC = `AX + (AX)/2` ...[(2) से]
∴ AC = `(2AX + AX)/2`
∴ AC = `(3AX)/2`
∴ 2AC = 3AX
अर्थात, 3AX = 2AC.
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कृति : 2AX = 3BX
∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
`square`ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD समलंब `square`ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं।
इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए:
- दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये।
- उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए।
- समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुओं के नाम लिखिए।
