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प्रश्न
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
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उत्तर
उपपत्ति:
□ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है।
∴ AB = CD = 2CP ...(1)
ΔAXB तथा ΔCXP में,
∠AXB ≅ ∠CXP ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∠BAX ≅ ∠PCX ...(एकांतर कोण)
∴ ΔAXB ∼ ΔCXP ...(समरूपत्ता की को-को कसौटी)
∴ `(AX)/(CX) = (AB)/(CP)` ...(स. त्रि. स. भु.)
∴ `(AX)/(CX) = (AB)/(CP)` ...[(1) से]
∴ `(AX)/(CX) = 2/1`
∴ AX = 2CX
∴ CX = `(AX)/2` ...(2)
AC = AX + CX ...(A – X – C)
∴ AC = `AX + (AX)/2` ...[(2) से]
∴ AC = `(2AX + AX)/2`
∴ AC = `(3AX)/2`
∴ 2AC = 3AX
अर्थात, 3AX = 2AC.
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ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`
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`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
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