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प्रश्न
आकृति में `square`DEFG एक वर्ग है। ΔABC में ∠A = 90°, बिंदु F भुजा AC पर स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, DE2 = BD × EC (ΔGBD तथा ΔCFE को समरूप दिखाइए और GD = FE = DE का उपयोग कीजिए।)
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उत्तर
`square`DEFG एक वर्ग है। ...........(दत्त)
∴ DE = EF = GF = GD ...........(वर्ग की भुजाएँ) .....(1)
∠GDE = ∠DEF = 90° ...........(वर्ग के कोण)
∴ रेख GD ⊥ भुजा BC और रेख EF ⊥ भुजा BC
ΔBAC और ΔBDG में,
∠BAC ≅ ∠BDG ..........(प्रत्येक समकोण)
∠ABC ≅ ∠DBG ........(सामान्य कोण)
∴ ΔBAC ∼ ΔBDG .........(समरूपता की को-को कसौटी) .....(2)
इसी प्रकार, ΔBAC ∼ ΔFEC .........(3)
∴ ΔBDG ∼ ΔFEC ......[(2) और (3) से]
∴ `"BD"/"EF" = "GD"/"EC"` .....(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
∴ `"BD"/"DE" = "DE"/"EC"` ...[(1) से]
∴ DE2 = BD × EC.
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ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
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∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
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आकृति में रेख XY || भुजा AC. यदि 2AX = 3BX और XY = 9 तो AC का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।
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∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
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यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
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∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
ΔABC में, रेख XY || रेख AC. यदि 2AX = 3BX तथा XY = 9 हो, तो AC का मान ज्ञात करो।
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