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प्रश्न
आकृति में `square`DEFG एक वर्ग है। ΔABC में ∠A = 90°, बिंदु F भुजा AC पर स्थित है। तो सिद्ध कीजिए कि, DE2 = BD × EC (ΔGBD तथा ΔCFE को समरूप दिखाइए और GD = FE = DE का उपयोग कीजिए।)
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उत्तर
`square`DEFG एक वर्ग है। ...........(दत्त)
∴ DE = EF = GF = GD ...........(वर्ग की भुजाएँ) .....(1)
∠GDE = ∠DEF = 90° ...........(वर्ग के कोण)
∴ रेख GD ⊥ भुजा BC और रेख EF ⊥ भुजा BC
ΔBAC और ΔBDG में,
∠BAC ≅ ∠BDG ..........(प्रत्येक समकोण)
∠ABC ≅ ∠DBG ........(सामान्य कोण)
∴ ΔBAC ∼ ΔBDG .........(समरूपता की को-को कसौटी) .....(2)
इसी प्रकार, ΔBAC ∼ ΔFEC .........(3)
∴ ΔBDG ∼ ΔFEC ......[(2) और (3) से]
∴ `"BD"/"EF" = "GD"/"EC"` .....(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
∴ `"BD"/"DE" = "DE"/"EC"` ...[(1) से]
∴ DE2 = BD × EC.
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A(ΔPQF) = 20 वर्ग इकाई, PF = 2 DP, माना DP = x ∴ PF = 2x
DF = DP + `square = square + square = 3x`
ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`
A(ΔFDE) = `9/4`A(ΔFPQ ) = `9/4 xx square = square`
A(`square`DPQE) = A(ΔFDE) - A(ΔFPQ)
= `square - square`
= `square`
दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
