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प्रश्न
`square`ABCD में रेख AD || रेख BC. विकर्ण AC और विकर्ण BD परस्पर एक दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि `"AP"/"PD" = "PC"/"BP"`
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उत्तर
`square`ABCD में,
रेख AD || रेख BC तथा रेखा BD उसकी त्रियक रेखा है |
∴ ∠CAD ≅ ∠ACB ...........(एकांतर कोण)
अर्थात, ∠PAD ≅ ∠PCB ......(एक ही कोण के भिन्न नाम) ....(1)
अब, ΔPAD तथा ΔPCB में,
∠PAD ≅ ∠PCB .........[(1) से]
∠APD ≅ ∠CPB .........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔPAD ∼ ΔPCB ................(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"PA"/"PC" = "PD"/"PB"` ...........(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपात में होती है |)
∴ `"AP"/"PC" = "PD"/"BP"`
∴ `"AP"/"PD" = "PC"/"BP"` .........(एकांतरानुपात की क्रिया से)
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∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
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इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए:
- दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये।
- उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए।
- समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुओं के नाम लिखिए।
