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प्रश्न
संलग्न आकृति में `square`PQRS एक समलंब चतुर्भुज है। जिसमें भुजा PQ || भुजा SR, AR = 5AP, AS = 5AQ तो सिद्ध कीजिए कि, SR = 5PQ
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उत्तर १
भुजा PQ || भुजा SR तथा रेखा QS उनकी तिर्यक रेखा है | .....(दत्त)
∴ ∠PQS ≅ ∠RSQ ...........(एकांतर कोण प्रमेय)
∴ ∠PQA ≅ ∠RSA ........(Q-A-S) ........(1)
ΔPQA और ΔRSA में,
∠PQA ≅ ∠RSA .......[(1) से]
∠PAQ ≅ ∠RAS ......(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔPQA ∼ ΔRSA ..........(समरूपता की को-को कसौटी)
∴ `"PQ"/"SR" = "AQ"/"AS" = "AP"/"AR"` ........(समरुप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात) ......(2)
AR = 5AP ........(दत्त) .....(3)
(3) का मान (2) में रखने पर,
`"PQ"/"SR" = "AQ"/"AS" = "AP"/(5"AP")`
∴ `"PQ"/"SR" = "AQ"/"AS" = 1/5`
∴ `"PQ"/"SR" = 1/5`
∴ SR = 5PQ.
उत्तर २
AR = 5AP ........(दत्त)
∴ `"AR"/"AP" = 5/1` ...........(1)
AS = 5AQ
∴ `"AS"/"AQ" = 5/1` ...........(2)
ΔRAS और ΔPAQ में,
`"AR"/"AP" = "AS"/"AQ"` .....[(1) और (2) से]
∠RAS ≅ ∠PAQ ........(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔRAS ∼ ΔPAQ ......(समरूपता की भु-को-भु कसौटी)
∴ `"AR"/"AP" = "SR"/"QP"` ........(स.त्रि.स.भु)
∴ `5/1 = "SR"/"QP"` ....[(1) से]
∴ SR = 5QP
∴ SR = 5PQ.
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DF = DP + `square = square + square = 3x`
ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`
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= `square - square`
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∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
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`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
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