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प्रश्न
समबाहु ΔABC तथा ΔDEF में A(ΔABC) : A(ΔDEF) = 1 : 2 AB = 4 तो DE की लंबाई ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
ΔABC और ΔDEF समबाहु त्रिभुज है |
∴ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F = 60° ..........(समबाहु त्रिभुज के कोण)
ΔABC और ΔDEF में,
`{:(∠"A" ≅ ∠"D"), (∠"B" ≅ ∠"E"):}}` .........(प्रत्येक 60°)
∴ ΔABC ∼ ΔDEF ........(समरूपता की को-को कसौटी)
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय से,
`("A"(Δ"ABC"))/("A"(Δ"DEF")) = "AB"^2/"DE"^2` ....(1)
A(ΔABC) : A(ΔDEF) = 1 : 2 तथा AB = 4 ......(दिया है |) .....(2)
∴ `1/2 = 4^2/"DE"^2` .....[(1) और (2) से]
∴ `"DE"^2 = 4^2 xx 2`
∴ DE = `4sqrt2` ........(दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर)
∴ DE = `underline(4sqrt2)`.
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DF = DP + `square = square + square = 3x`
ΔFDE तथा ΔFPQ में।
∠FDE ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∠FED ≅ ∠`square` (संगत कोण)
∴ ΔFDE ∼ ΔFPQ .........(को-को कसौटी)
∴ `("A"(Δ"FDE"))/("A"(Δ"FPQ")) = square/square = (3x)^2/(2x)^2 = 9/4`
A(ΔFDE) = `9/4`A(ΔFPQ ) = `9/4 xx square = square`
A(`square`DPQE) = A(ΔFDE) - A(ΔFPQ)
= `square - square`
= `square`
आकृति में रेख XY || भुजा AC. यदि 2AX = 3BX और XY = 9 तो AC का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।
कृति : 2AX = 3BX
∴ `"AX"/"BX" = square/square`
`("AX + BX")/"BX" = (square + square)/square` ........... (योगानुपात की क्रिया से)
`"AB"/"BX" = square/square` .......... (I)
ΔBCA ~ ΔBYX .......... (समरूपता की `square` कसौटी)
∴ `"BA"/"BX" = "AC"/"XY"` .......... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजा)
∴ `square/square = "AC"/9`
∴ AC = `square` ..........(I) से
ΔABC में, रेख XY || रेख AC. यदि 2AX = 3BX तथा XY = 9 हो, तो AC का मान ज्ञात करो।
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
`square`ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD समलंब `square`ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं।
इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए:
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- उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए।
- समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुओं के नाम लिखिए।
