Question

यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n - n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है?दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।

Answer 1

∵ S_n = 4n - n² (दिया है)

⇒ S₁ = 4 × 1 - (1)²

= 4 - 1 = 3

⇒ a = 3

⇒ S₂ = 4 × 2 - (2)²

= 8 - 4

= 4

दूसरा पद a₂ = S₂ - S₁ = 4 - 3 = 1

S₃ = 4(3) - (3)² = 12 - 9 = 3 

पहले 3 पदों का योग 3 है

तीसरा पद (a₃) = S₃ - S₂ = 3 - 4 = -1

S₉ = 4(9) - (9)²

= 36 - 81

= -45

S₁₀ = 4(10) - (10)²

= 40 - 100

= -60

S₁₀ - S₉ = -60 - (-45) = -15

अब, Sn = 4n - n²

साथ ही `S_(n - 1)` = 4(n - 1) - (n - 1)²

= 4n - 4 - [ n² - 2n + 1]

= 4n - 4 - n² + 2n - 1

= 6n - n² - 5

n^th पद = S_n - S_{n - 1} = (4n - n²) - (6n - n² - 5)

= 4n - n² - 6n + n² + 5

= 5 - 2n

S₁ = 3 और a₁ = 3

S₂ = 4 और a₂ = 1

S₃ = 3 और a₃ = -1

a₁₀ = -15 और a_n = 5 - 2n